培玉 · 一试

2010 年中科大少年班初试

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 13/15 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

设复数 $w = ((a + i) / (1 + i))^{2}$ ，其中 $a$ 为实数。若 $w$ 的实部为2，则 $w$ 的虚部为（）。

A. $- 3/2$ B. $- 1/2$ C. $1/2$ D. $3/2$

第 2 题

设向量 $a, b$ 满足 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ 、 $a \cdot b = m$ ，则 $∣ a + t b ∣ (t \in R)$ 的最小值为（）。

A. $2$ B. $1 + m^{2}$ C. $1$ D. $1 - m^{2}$

第 3 题

如果平面 $α, β$ 与直线 $m, n$ 满足 $α ∥ β$ 、 $A \in m \subset α$ 、 $B \in n \subset β$ ，且 $A B$ 与平面 $α$ 所成的角为 $π /4$ ， $n ⊥ A B$ ，直线 $m$ 与直线 $A B$ 所成的角为 $π /3$ ，则 $m$ 与 $n$ 所成角的大小为（）。

A. $π /3$ B. $π /4$ C. $π /6$ D. $π /8$

第 4 题

在正四棱锥 $P - A BC D$ 中， $B_{1}, D_{1}$ 分别为侧棱 $PB, P D$ 的中点，则四面体 $A B_{1} C D_{1}$ 的体积与四棱锥 $P - A BC D$ 的体积之比为（）。

A. $1 : 6$ B. $1 : 5$ C. $1 : 4$ D. $1 : 3$

第 5 题

在 $△ A BC$ 中，三边长 $a, b, c$ 满足 $a + c = 3 b$ ，则 $tan (A /2) tan (C /2)$ 的值为（）。

A. $1/5$ B. $1/4$ C. $1/2$ D. $2/3$

第 6 题

如图， $△ A BC$ 的两条高线 $A D, BE$ 交于 $H$ ，其外接圆圆心为 $O$ ，过 $O$ 作 $OF ⊥ BC$ 于 $F$ ， $O H$ 与 $A F$ 相交于 $G$ ，则 $△ OFG$ 与 $△ G A H$ 面积之比为（）。

A. $1 : 4$ B. $1 : 3$ C. $2 : 5$ D. $1 : 2$

第 7 题

设 $f (x) = e^{a x} (a > 0)$ 。过点 $P (a, 0)$ 且平行于 $y$ 轴的直线与曲线 $C : y = f (x)$ 的交点为 $Q$ ，曲线 $C$ 过点 $Q$ 的切线交 $x$ 轴于点 $R$ ，则 $△ PQR$ 的面积的最小值是（）。

A. $1$ B. $2 e /2$ C. $e /2$ D. $e^{2} /4$

第 8 题

本题整理中，不计分。

第 9 题

欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 $m$ 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形均有3条不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则 $m$ 的最小值为（）。

A. $6$ B. $7$ C. $8$ D. $9$

第 10 题

设定点 $A, B, C, D$ 是以 $O$ 点为中心的正四面体的顶点，用 $σ$ 表示空间以直线 $O A$ 为轴满足 $σ (B) = C$ 的旋转，用 $τ$ 表示空间关于 $OC D$ 所在平面的镜面反射，设 $l$ 为过 $A B$ 中点与 $C D$ 中点的直线，用 $ω$ 表示空间以 $l$ 为轴的 $18 0^{\circ}$ 旋转。设 $σ \circ τ$ 表示变换的复合，先作 $τ$ 再作 $σ$ 。则 $ω$ 可以表示为（）。

A.
$σ \circ τ \circ σ \circ τ \circ σ$
B.
$σ \circ τ \circ σ \circ τ \circ σ \circ τ$
C.
$τ \circ σ \circ τ \circ σ \circ τ$
D.
$σ \circ τ \circ σ \circ σ \circ τ \circ σ$

第 11 题

在 $△ A BC$ 中，已知

2 sin^{2} \frac{A + B}{2} + cos 2 C = 1,

外接圆半径 $R = 2$ 。

(1)
求角 $C$ 的大小；
(2)
求 $△ A BC$ 面积的最大值。

第 12 题

设 $A, B, C, D$ 为抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上不同的点， $A, D$ 关于该抛物线的对称轴对称， $BC$ 平行于该抛物线在点 $D$ 处的切线 $l$ ，设 $D$ 到直线 $A B, A C$ 的距离分别为 $d_{1}, d_{2}$ ，已知

d_{1} + d_{2} = 2 ∣ A D ∣.

(1)
判断 $△ A BC$ 是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种，并说明理由；
(2)
若 $△ A BC$ 的面积为240，求点 $A$ 的坐标及直线 $BC$ 的方程。

第 13 题

(1)
正四棱锥的体积 $V = 2 /3$ ，求正四棱锥的表面积的最小值；
(2)
一般地，设正 $n$ 棱锥的体积 $V$ 为定值，试给出一个不依赖于 $n$ 的充分必要条件，使得正 $n$ 棱锥的表面积取得最小值。

第 14 题

本题整理中，不计分。

第 15 题

设函数 $f (x) = (x + m) / (x + 1)$ ，且存在函数

s = φ (t) = a t + b (t > 1/2, a > 0),

满足 $f ((2 t - 1) / t) = (2 s + 1) / s$ 。

(1)
证明：存在函数 $t = ψ (s) = cs + d (s > 0)$ ，满足 $f ((2 s + 1) / s) = (2 t - 1) / t$ ；
(2)
设 $x_{1} = 3, x_{n + 1} = f (x_{n}) (n = 1, 2, \dots)$ ，证明： $∣ x_{n} - 2∣ \leq 1/ 3^{n - 1}$ 。