2026 年上海预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

在平面直角坐标系中，曲线

(∣ x ∣ - 1)^{2} + (∣ y ∣ - 1)^{2} = 2

围成的封闭图形的面积为。

复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 满足

∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = ∣ z_{3} ∣ = 1, \frac{1}{z _{1}} + \frac{1}{z _{2}} + \frac{1}{z _{3}} = 2 + i,

则 $z_{1} + z_{2} + z_{3} =$ 。

在圆内接六边形 $A BC D EF$ 中，

A B = C D = EF = 4, BC = D E = F A = 7,

则其外接圆的半径为。

设

{a, b, c} \subseteq {1, 2, \dots, 9}, b = 3 a .

则用 $a, a, b, c$ 能组成个不同的四位数。

已知一个四面体的四个面全等，每个面的三条边长均为 $a, b, c$ 。

则其外接球的半径为。

椭圆

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

的一条切线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴于点 $A, B$ ，则 $∣ A B ∣$ 的最小值为。

在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 0, a_{15} = 8$ ，且对任意 $k = 1, 2, \dots, 14$ ，有

∣ a_{k + 1} - a_{k} ∣ = 2.

则满足要求的数列有个。

函数

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

与 $x$ 轴的交点从大到小依次为 $A, B, C$ 。设过 $A, C$ 的切线交 $f (x)$ 的图象分别于另一点 $T_{1}, T_{2}$ 。则线段 $T_{1} T_{2}$ 在 $A C$ 上的数量投影与 $∣ A C ∣$ 的比值为。

求函数

f (x) = 3 x + (2 x + 3) 1 - x^{2}

的最小值与最大值。

椭圆

\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

的上顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ 。设 $P, Q$ 为椭圆上的两个点，满足 $F A$ 平分 $∠ PFQ$ 。求证：直线 $PQ$ 过定点，并求出该定点的坐标。

设集合 $A$ 有 $12$ 个元素， $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}$ 是 $A$ 的子集，满足

A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{k} = A,

且其中任意 $5$ 个子集的交集非空，任意 $6$ 个子集的交集为空集。求 $k$ 的最大值。

在六边形 $A BC D EF$ 中，

∠ A = ∠ B = ∠ D = ∠ E = ∠ F = 9 0^{\circ}, ∠ C = 27 0^{\circ} .

设 $A B, BC, C D, D E$ 的长 $a, b, c, d$ 均为正整数。记六边形 $A BC D EF$ 的周长为 $l$ ，面积为 $S$ 。