培玉 · 一试

2017 年湖北预赛

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第 1 题

已知非空集合 $A = {x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 2 x - 15 \leq 0}$ ，且 $A \subseteq B$ ，则实数 $m$ 的取值范围是。

第 2 题

已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{6} + a_{5} + a_{4} - a_{3} - a_{2} - a_{1} = 49$ ，则 $a_{9} + a_{8} + a_{7}$ 的最小值为。

第 3 题

设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ （ $x \in R$ ），其中 $a, b, c$ 为互不相同的非零整数，且 $f (a) = a^{3}, f (b) = b^{3}$ ，则 $a + b + c =$ 。

第 4 题

设函数

f (x) = (\frac{1}{2})^{x} + (\frac{2}{3})^{x} + (\frac{5}{6})^{x}, x \in [0, + \infty) .

则该函数图象上整点的个数为。

第 5 题

已知 $O$ 为 $△ A BC$ 的外心， $D$ 为 $BC$ 的中点，若 $A O \cdot A D = 4, BC = 26$ ，则 $A D =$ 。

第 6 题

如图，在直三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ ， $BC = C C_{1} = 2$ ， $A C = 42$ ， $P$ 是 $B C_{1}$ 上一点，则 $CP + P A_{1}$ 的最小值为。

第 7 题

已知正实数 $a, b$ 满足 $ab (a + b) = 4$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为。

第 8 题

六个人围成一圈玩掷硬币游戏（硬币质地均匀），每人掷一次硬币。规定：硬币反面朝上的要表演节目，正面朝上的不用表演，则没有两个表演者相邻的概率为。

第 9 题

过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $M, N$ 两点， $E (m, 0)$ 为 $x$ 轴上一点， $ME, NE$ 的延长线分别交抛物线于点 $P, Q$ 。若 $MN, PQ$ 的斜率 $k_{1}, k_{2}$ 满足 $k_{1} = 3 k_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为。

第 10 题

将与 $70$ 互质的所有正整数从小到大排成数列，这个数列的第 $2017$ 项为。

第 11 题

求实数 $a$ 的取值范围，使不等式

sin 2 θ - 22 a cos (θ - \frac{π}{4}) - \frac{2 a}{sin ( θ + \frac{π}{4} )} > - 3 - a^{2}

对 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ 恒成立。

第 12 题

过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，抛物线在 $A, B$ 两点处的切线交于点 $E$ 。

(1)
求证： $EF ⊥ A B$ ；
(2)
设 $A F = λ FB$ ，当 $λ \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ 时，求 $△ A BE$ 的面积 $S$ 的最小值。

第 13 题

已知函数 $f (x) = ∣ sin x ∣$ ， $x \in R$ 。

(1)
证明： $sin 1 \leq f (x) + f (x + 1) \leq 2 cos \frac{1}{2}$ ；
(2)
证明：对任意的正整数 $n$ ，有
$\frac{f ( n )}{n} + \frac{f ( n + 1 )}{n + 1} + \dots + \frac{f ( 3 n - 1 )}{3 n - 1} > \frac{sin 1}{2} .$