培玉 · 一试

2024 年北京预赛

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第 1 题

设整数集合 $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}}$ ，若 $A$ 中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为

B = {- 30, - 15, - 10, - 6, - 5, - 3, 2, 6, 10, 15},

则集合 $A =$ 。

第 2 题

已知函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 2, ln (\frac{1}{2} x + 1), x < 0, x \geq 0.

若关于 $x$ 的方程 $f (f (x)) = m$ 恰有三个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则

\frac{2 x _{1} + 9}{ln ( x _{2} + 4 )}

的取值范围是。

第 3 题

从 $1, 2, \dots, 2024$ 中任取两个数 $a, b (a \leq b)$ ，则 $3^{a} + 7^{b}$ 的值中，个位数字为 $8$ 的数有个。

第 4 题

设复数 $z$ 满足 $∣3 z - 2 i ∣ = 6$ ，令

z_{1} = \frac{z ^{2} - 10 z + 74}{z - 5 + 7 i},

则 $∣ z_{1} ∣$ 的最大值是。

第 5 题

已知函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x, \frac{q + 1}{p}, x 为无理数, x = \frac{q}{p},

其中 $p, q \in N^{*}$ ， $p, q$ 互质且 $p > q$ 。则函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{8}{9}, \frac{9}{10})$ 上的最大值为。

第 6 题

对于 $c > 0$ ，若非零实数 $a, b$ 满足

4 a^{2} - 2 ab + 4 b^{2} - c = 0,

且使 $∣2 a + b ∣$ 最大，则

\frac{3}{a} - \frac{4}{b} + \frac{2}{c}

的最小值为。

第 7 题

已知函数

f (x) = cos^{4} x + sin^{4} x + a sin 4 x - b,

且 $f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数。若方程 $f (x) + m = 0$ 在 $[0, π]$ 上有四个不同的实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，则

f (\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4}}{4})

的平方值为。

第 8 题

已知 $A \subseteq {1, 2, \dots, 2625}$ ，且 $A$ 中任意两个数的差的绝对值不等于 $4$ ，也不等于 $9$ ，则 $∣ A ∣$ 的最大值为。

第 9 题

设多项式

f (x) = x^{2024} + i = 0 \sum 2023 c_{i} x^{i}, c_{i} \in {- 1, 0, 1} .

记 $N$ 为 $f (x)$ 的正整数根的个数（含重根）。若 $f (x)$ 无负整数根，则 $N$ 的最大值是。

第 10 题

在棱长为 $4$ 的正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 上的一点，且 $A_{1} E = 1$ 。 $F$ 为截面 $A_{1} B D$ 上的动点，则 $A F + FE$ 的最小值等于。

第 11 题

数列 ${a_{n}}$ 定义如下：设

\frac{( 2 n )!}{n ! ( n + 2024 )!}

写成既约分数后的分母为 $A (n)$ ， $a_{n}$ 等于 $2 A (n)$ 的最大质因数，则 $a_{n}$ 的最大值等于。

第 12 题

设 $a, b, c$ 是三个正数，求证：

\frac{2 a}{2 a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 b}{a ^{2} + 2 b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 c}{a ^{2} + b ^{2} + 2 c ^{2}} \leq \frac{3 2 ( a + b + c )}{5 a ^{2} + 5 b ^{2} + 5 c ^{2} + ab + b c + c a} .

第 13 题

如图，锐角 $△ A BC$ 的三条高线 $A D, BE, CF$ 交于点 $H$ 。过点 $F$ 作 $FG ∥ A C$ ，交直线 $BC$ 于点 $G$ 。设 $△ CFG$ 的外接圆为 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与直线 $A C$ 的另一个交点为 $P$ 。过 $P$ 作 $PQ ∥ D E$ ，交直线 $A D$ 于点 $Q$ 。连接 $O D, OQ$ 。求证： $O D = OQ$ 。

第 14 题

有 $n$ 个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了，但是每场比赛的主场、客场还没有分配。每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数。最终组委会发现这些次数之和恰好是比赛的总场次，并且任意挑出若干支球队，它们能够接受的客场次数之和都大于或等于它们之间的比赛总场次。问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，并证明结论。

第 15 题

设 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 为 $n$ 个两两不同的正整数，且 $a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ 恰有 $4048$ 个质因数。如果 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中任意多个数相乘均不是一个整数的 $4049$ 次方，求 $n$ 的最大值。