培玉 · 一试

2020 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

若实数 $x$ 满足 $lo g_{2} x = lo g_{4} (2 x) + lo g_{8} (4 x)$ ，求 $x$ 。

第 2 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $Ω$ 经过点 $(0, 0), (2, 4), (3, 3)$ ，求圆 $Ω$ 上的点到原点距离的最大值。

第 3 题

设集合 $X = {1, 2, \dots, 20}$ ， $A$ 是 $X$ 的子集， $A$ 的元素个数至少为2，且 $A$ 的所有元素可排成连续的正整数。求这样的集合 $A$ 的个数。

第 4 题

在三角形 $A BC$ 中， $BC = 4, C A = 5, A B = 6$ ，求 $sin^{6} (A /2) + cos^{6} (A /2)$ 。

第 5 题

设9元集合 $A = {a + bi : a, b \in {1, 2, 3}}$ ，其中 $i$ 是虚数单位。 $α = (z_{1}, \dots, z_{9})$ 是 $A$ 中所有元素的一个排列，满足 $∣ z_{1} ∣ \leq \dots \leq ∣ z_{9} ∣$ ，求这样的排列个数。

第 6 题

一个正三棱柱的各条棱长均为3，求其外接球的体积。

第 7 题

在凸四边形 $A BC D$ 中， $BC = 2 A D$ 。点 $P$ 满足 $P A + 2020 PB + PC + 2020 P D = 0$ 。设 $s, t$ 分别为四边形 $A BC D$ 与三角形 $P A B$ 的面积，求 $t / s$ 。

第 8 题

首项系数为1的五次多项式 $f (x)$ 满足 $f (n) = 8 n$ （ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ ），求 $f (x)$ 的一次项系数。

第 9 题

在椭圆 $Γ$ 中， $A$ 为长轴的一个端点， $B$ 为短轴的一个端点， $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点。若 $A F_{1} \cdot A F_{2} + B F_{1} \cdot B F_{2} = 0$ ，求 $tan ∠ A B F_{1} \cdot tan ∠ A B F_{2}$ 。

第 10 题

设正数 $a, b, c$ 满足 $a^{2} + 4 b^{2} + 9 c^{2} = 4 b + 12 c - 2$ 。求 $1/ a + 2/ b + 3/ c$ 的最小值。

第 11 题

设数列 $a_{n} = (((1 + 5) /2)^{n} - ((1 - 5) /2)^{n}) / 5$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）。证明存在无穷多个正整数 $m$ ，使 $a_{m + 4} a_{m} - 1$ 是完全平方数。