培玉 · 一试

2015 年河南预赛

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按原题序浏览；已整理 12/12 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

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练习时长（分钟）

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第 1 题

不能表示为 $7^{x} - 3 \times 2^{y}$ （ $x, y \in N^{*}$ ）的最小正奇数是。

第 2 题

已知点 $P$ 是棱长为 $2$ 的正四面体 $A BC D$ 内的任意一点，它到四个面的距离分别是 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ ，则 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} + d_{4}^{2}$ 的最小值为。

第 3 题

设双曲线 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > 1, b > 1$ ）的焦距为 $2 c$ ，直线 $l$ 过点 $(a, 0), (0, b)$ 。若点 $(1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离与点 $(- 1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离和 $S \geq \frac{4 c}{5}$ ，则双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是。

第 4 题

已知实数 $x, y$ 满足

2 x = ln (x + y - 1) + ln (x - y - 1) + 4,

则 $2015 x^{2} + 2016 y^{3}$ 的值是。

第 5 题

已知正数 $a, b$ 满足 $a + 3 b = 7$ ，则 $\frac{1}{1 + a} + \frac{4}{2 + b}$ 的最小值为。

第 6 题

一个篮球运动员进行投球练习，若他投进前 $1$ 球，则投进后一球概率为 $\frac{2}{3}$ ；若他投不进前一球，则投进后一球概率为 $\frac{1}{3}$ 。已知他投进第 $1$ 球概率为 $\frac{2}{3}$ ，则他投进第 $4$ 球概率为。

第 7 题

设 $f (x) = \frac{sin π x}{x ^{2}}$ （ $x \in (0, 1)$ ），则 $g (x) = f (x) + f (1 - x)$ 的最小值为。

第 8 题

已知集合

A_{k} = {2^{k - 1} + a_{k - 2} 2^{a_{k - 2} + k - 2} + a_{k - 3} 2^{a_{k - 3} + k - 3} + \dots + a_{1} 2^{a_{1} + 1} + a_{0} 2^{a_{0}} a_{i} \in {0, 1}, i = 0, 1, 2, \dots, k - 2},

用 $n_{k}$ 表示集合 $A_{k}$ 中所有元素的和，则 $k = 1 \sum 2015 n_{k} =$ 。

第 9 题

求证：任一正整数 $N$ 均可表示为 $pq + uv$ 的形式，其中 $u - v = 2 (p - q)$ ，这里 $p, q, u, v \in Z$ 。

第 10 题

数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的定义是

a_{1} = 1, b_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1 + a _{n} + a _{n} b _{n}}{b _{n}}, b_{n + 1} = \frac{1 + b _{n} + a _{n} b _{n}}{a _{n}} .

证明： $a_{2015} < 5$ 。

第 11 题

如图，过椭圆 $a x^{2} + b y^{2} = 1$ （ $b > a > 0$ ）中心 $O$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交椭圆于点 $A, E, B, G$ 四点，且直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率之积是 $- \frac{a}{b}$ 。过点 $A, B$ 作两条平行线 $l_{3}, l_{4}$ ，设 $l_{2} \cap l_{3} = M$ ， $l_{1} \cap l_{4} = N$ ，且 $C D \cap MN = P$ ，求证： $OP ∥ l_{3}$ 。

本站依题述关系自绘示意；未核对原图，不补充条件。

题图关系说明： $C, D$ 分别为 $l_{3}, l_{4}$ 与椭圆的另一个交点。

第 12 题

求由数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 构成的且含有 $1, 6$ 相邻的 $n$ 位数的个数。