培玉 · 一试

2022 年全国高中数学联赛一试（A1 卷）

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

设复数

z = \frac{π}{e + π} (1 + i) + \frac{e}{π + e} (1 - i)

（ $e$ 为自然对数的底数， $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的模为。

第 2 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $Ω : x^{2} + y^{2} + d x + ey + f = 0$ （其中 $d, e, f$ 为实数）的一条直径为 $A B$ ，其中 $A (20, 22)$ ， $B (10, 30)$ ，则 $f$ 的值为。

第 3 题

设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = ∣ x - 2∣ + a$ （其中 $a$ 为实数）。若 $f (x)$ 为奇函数，则不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集为。

第 4 题

若 $△ A BC$ 满足 $\frac{∠ A}{3} = \frac{∠ B}{4} = \frac{∠ C}{5}$ ，则

\frac{A B \cdot A C}{∣ BC ∣ ^{2}}

的值为。

第 5 题

若等差数列 ${a_{n}}$ 及正整数 $m$ （ $m \geq 3$ ）满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{m} = 2$ ，且

\frac{1}{a _{1} a _{2}} + \frac{1}{a _{2} a _{3}} + \dots + \frac{1}{a _{m - 1} a _{m}} = 3,

则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m}$ 的值为。

第 6 题

在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为。

第 7 题

已知四面体 $A BC D$ 满足 $A B ⊥ BC$ ， $BC ⊥ C D$ ， $A B = BC = C D = 23$ ，且该四面体的体积为 $6$ ，则异面直线 $A D$ 与 $BC$ 所成角的大小为。

第 8 题

在 $5 \times 5$ 矩阵中，每个元素都为 $0$ 或 $1$ ，且满足：五行的元素之和相等，但五列的元素之和两两不等。这样的矩阵的个数为（答案用数值表示）。

第 9 题

（本题满分 $16$ 分）对任意正实数 $a$ ，记函数 $f (x) = ∣ l g x ∣$ 在 $[a, + \infty)$ 上的最小值为 $m_{a}$ ，函数 $g (x) = sin \frac{π x}{2}$ 在 $[0, a]$ 上的最大值为 $M_{a}$ 。若 $M_{a} - m_{a} = \frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的所有可能值。

第 10 题

（本题满分 $20$ 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设一条动直线 $l$ 与抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ 相切，且与双曲线 $Ω : x^{2} - y^{2} = 1$ 交于左、右两支各一点 $A$ 、 $B$ 。求 $△ A OB$ 的面积的最小值。

第 11 题

（本题满分 $20$ 分）设正整数数列 ${a_{n}}$ 同时具有以下两个性质：

（i）对任意正整数 $k$ ，均有 $a_{2 k - 1} + a_{2 k} = 2^{k}$ ；

（ii）对任意正整数 $m$ ，均存在正整数 $l \leq m$ ，使得 $a_{m + 1} = i = l \sum m a_{i}$ 。

求 $a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2022}$ 的最大值。