2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

若实数 $m>1$ 满足 ${\log }_9({\log }_{8}m)=2024$，则 ${\log }_3({\log }_{2}m)$ 的值为。

设无穷等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q$ 满足 $0<|q|<1$。若 $\{a_n\}$ 的各项和等于 $\{a_n\}$ 各项的平方和，则 $a_2$ 的取值范围是。

设实数 $a,b$ 满足：集合 $A=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-10x+a\le 0\}$ 与 $B=\{x\in \mathbb{R}\mid bx\le b^3\}$ 的交集为 $[4,9]$，则 $a+b$ 的值为。

在三棱锥 $P-ABC$ 中，若 $PA\perp \text{底面 }ABC$，且棱 $AB,BP,BC,CP$ 的长分别为 $1,2,3,4$，则该三棱锥的体积为。

一个不均匀的骰子，掷出 $1,2,3,4,5,6$ 点的概率依次成等差数列。独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 $a,b$。若事件“$a+b=7$”发生的概率为 $\frac{1}{7}$，则事件“$a=b$”发生的概率为。

设 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$、最小正周期为 $5$ 的函数。若函数 $g(x)=f(2^x)$ 在区间 $[0,5)$ 上的零点个数为 $25$，则 $g(x)$ 在区间 $[1,4)$ 上的零点个数为。

设 $F_1,F_2$ 为椭圆 $\Omega$ 的焦点，在 $\Omega$ 上取一点 $P$（异于长轴端点），记 $O$ 为 $△P{F}_1{F}_2$ 的外心。若 $\overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{F_1{F}_2}=2\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}$，则 $\Omega$ 的离心率的最小值为。

若三个正整数 $a,b,c$ 的位数之和为 $8$，且组成 $a,b,c$ 的 $8$ 个数码能排列为 $2,0,2,4,0,9,0,8$，则称 $(a,b,c)$ 为“幸运数组”，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组。满足 $10<a<b<c$ 的幸运数组 $(a,b,c)$ 的个数为。

在 $△ABC$ 中，已知 $\cos C=\frac{\sin A+\cos A}{2}=\frac{\sin B+\cos B}{2}$，求 $\cos C$ 的值。

在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma :x^2-y^2=1$ 的右顶点为 $A$。将圆心在 $y$ 轴上，且与 $\Gamma$ 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”。若两个好圆外切于点 $P$，圆心距为 $d$，求 $\frac{d}{|PA|}$ 的所有可能的值。

设复数 $z,w$ 满足 $z+w=2$，求 $S=|z^2-2w|+|w^2-2z|$ 的最小可能值。