2018 年河北预赛（高二卷）

在平面直角坐标系中，若与点 $A(2,2)$ 的距离为 $1$，且与点 $B(m,0)$ 的距离为 $3$ 的直线恰有三条，则实数 $m$ 的取值集合是。

在矩形 $ABCD$ 中，已知 $AB=3,BC=1$，动点 $P$ 在边 $CD$ 上。设 $\angle PAB=\alpha ,\angle PBA=\beta$，则 $\frac{\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}}{\cos (\alpha +\beta )}$ 的最大值为。

已知 $x\ge 1,y\ge 1$ 且 $(\lg x{)}^2+(\lg y{)}^2=\lg (10x^2)+\lg (10y^2)$，则 $u=\lg (xy)$ 的最大值为。

若三角形 $△A_1{A}_2{A}_3$ 的三边长分别为 $8,10,12$，三条边的中点分别是 $B,C,D$，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥 $A$-$BCD$ 的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是。

已知 $\frac{\sin \theta }{\sqrt{3}\cos \theta +1}>1$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是。

在 $△ABC$ 中，已知 $AC=3,\sin C=k\sin A(k\ge 2)$，则 $△ABC$ 的面积最大值为。

设 $O$ 是 $△ABC$ 的外心，且 $3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\vec{0}$，求 $\cos \angle BAC$。

设 $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，证明：$\cos \alpha +\cos \beta +\sqrt{2}\sin \alpha \sin \beta \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$。

若 $a,b,c$ 为正数且 $a+b+c=3$，证明：$ab+bc+ca\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le 3$。

若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$ 且满足：①存在实数 $a\in (1,+\infty )$，使得 $f(a)=1$；②当 $m\in \mathbb{R}$ 且 $x\in (0,+\infty )$ 时，有 $f(x^m)-mf(x)=0$ 恒成立。

1. (1)

   证明 $f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)$（其中 $x>0,y>0$）；

2. (2)

   判断 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上的单调性，并证明；

3. (3)

   当 $t>0$ 时，不等式 $f(t^2+4)-f(t)\ge 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=\frac{1}{2}$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+\frac{2n+1}{2^{n+1}}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。