培玉 · 一试

2017 年山西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

$201 7^{2017}$ 的正因数个数是。

第 2 题

函数

y = \frac{sin 2 x - 3}{sin x + cos x - 2}

的值域是。

第 3 题

在边长为 $2$ 的正方形 $A BC D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点。现将图形沿线段 $EC$ 、 $E D$ 折起，使线段 $E A$ 、 $EB$ 重合，得到四面体 $C D E A$ （点 $B$ 已重合于点 $A$ ），则此四面体的体积是。

第 4 题

将全体正奇数按自小到大的顺序排列，然后取第一个数为 $a_{1}$ ，取后续两个数之和为 $a_{2}$ ，再取后续三个数之和为 $a_{3}$ ，如此继续，得到数列 ${a_{n}}$ ，即 $a_{1} = 1, a_{2} = 3 + 5, a_{3} = 7 + 9 + 11, \dots$ ，则

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{20} = 。

第 5 题

直线 $y = k x - 2$ 与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 交于 $A, B$ 两点。若线段 $A B$ 的中点横坐标为 $2$ ，则线段 $A B$ 的长度 $∣ A B ∣ =$ 。

第 6 题

若三个角 $x, y, z$ 构成等差数列，其公差为 $\frac{π}{3}$ ，则

tan x \cdot tan y + tan y \cdot tan z + tan z \cdot tan x = 。

第 7 题

k = 0 \sum 201 (10 k + 7)^{k + 1} = 7^{1} + 1 7^{2} + 2 7^{3} + 3 7^{4} + \dots + 201 7^{202}

的末位数字是。

第 8 题

设 $M = {1, 2, \dots, 2017}$ 是前 $2017$ 个正整数构成的集合。若从 $M$ 中去掉一个元素后， $M$ 中剩下的元素之和恰为一个平方数，则去掉的元素是。

第 9 题

求所有的正整数 $n$ ，使得集合 $M = {1, 2, \dots, 4 n}$ 可以分拆成 $n$ 个四元子集

M = k = 1 ⋃ n M_{k}, M_{k} = {a_{k}, b_{k}, c_{k}, d_{k}},

其中每个子集的四个元素中，有一个元素等于另外三个元素的算术平均。

第 10 题

如图， $△ A BC$ 的内心为 $I$ 。过 $B$ 作 $ℓ_{B} ⊥ C I$ ，过 $C$ 作 $ℓ_{C} ⊥ B I$ ， $D$ 是 $ℓ_{B}$ 、 $ℓ_{C}$ 的交点；若 $N = ℓ_{B} \cap A C$ ， $M = ℓ_{C} \cap A B$ ，线段 $BN$ 、 $CM$ 的中点分别为 $E$ 、 $F$ 。证明：

EF ⊥ A I .

第 11 题

证明：有无穷多组正整数 $x, y, z$ 满足

(x + y + z)^{2} + 2 (x + y + z) = 5 (x y + yz + z x) 。