2026 年江西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

若

cos (\frac{π}{3} - θ) = 2 cos (\frac{π}{6} + θ),

则

cos (2 θ + \frac{π}{3}) = .

实数 $a, b$ 满足集合

{a, \frac{b}{a}, 2025} = {a^{2}, a + 2026 b, 0},

则 $a^{2026} + (b - 1)^{2027}$ 末尾的两位数是。

已知函数

f (x) = sin^{2} x + a cos x + b

有零点，则 $a^{2} + (b - 2)^{2}$ 的最小值为。

若点 $C, D$ 是直线 $y = 2 x + 1$ 与曲线 $2 x^{2} - 3 y^{2} = y$ 交点的两个三等分点，点 $P$ 在 $y$ 轴上，则 $∣ PC ∣ + ∣ P D ∣$ 的最小值为。

正方体的顶点和它的中心构成的 $9$ 个点中取 $3$ 点能构成锐角三角形的概率为。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，

a_{n + 1} = a_{n}^{2} - \frac{a _{n} ( a _{n} - 1 )}{n} (n \geq 1) .

则

[i = 1 \sum 2026 (\frac{a _{i}}{i})^{2}] = .

使得

\frac{3 m ^{2} + 20 m + 26}{m - 1}

的值为整数的所有有理数 $m$ 的和为。

已知复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 2$ ，则

(z + 2)^{2} (z - 1) (z - 4)^{2}

的最大值为。

关于 $x$ 的方程

x^{4} - 4 x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0

的四个正根 $α, β, γ, δ$ ，使得不等式

(1 + α) (1 + α + β) (1 + α + β + γ) - k α β γ δ \geq 0

恒成立。求 $k$ 的最大值。

正实数 $a, b, c$ 满足

a + b = 36 + ab, a + c = 16 + 2 a c, b + 3 c = 50 - b^{2} + c^{2} .

求

(a - b - 3 c)^{2} + 3 b^{2}

的值。

$△ A BC$ 的内切圆 $⊙ I$ 与边 $A C, A B$ 分别切于点 $E, F$ ，分别连接 $E I, F I$ 并延长交 $⊙ I$ 于点 $J, K$ 。若 $A E = BC$ ，求证： $I, J, B, C, K$ 五点共圆。

对给定的奇素数 $p$ ，试说明满足下述条件的正整数 $N$ 是否存在。若存在，求出其中最小的。

(1)
$(p - 1)^{p} < N < p^{p}$ ；
(2)
其标准分解
$N = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{n}^{α_{n}}$
满足
$i = 1 \sum n \frac{α _{i}}{p _{i}} < 1 - \frac{1}{p ln p} .$