2017 年河南预赛

实数 $x,y$ 满足

若 $S=x^2+y^2$，记 $S$ 的最大值为 $p$，$S$ 的最小值为 $q$，则

若 $a\ge b\ge c$，$a+b+c=0$，且 $x_1,x_2$ 为二次方程

的两实根，则 $|x_1^2-x_2^2|$ 的最大值与最小值的和为

称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集。若集合

则 $A$ 的所有真子集中平凡集的个数为（允许用数的幂次表示）

单位正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 的侧面 $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ 内有一点 $M$，到两直线 $AB$、$B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的距离相等。那么点 $M$ 的轨迹上的点到点 $C^{\prime }$ 的距离的最小值为。

设 $A,B$ 是椭圆 $x^2+3y^2=1$ 上的两个动点，且 $OA\perp OB$（$O$ 为坐标原点），则 $|AB|$ 的最大值和最小值的乘积为。

已知由 $3$ 的幂或者是若干个不同的 $3$ 的幂之和组成的递增数列

则此数列的第 $100$ 项是。

一张试卷共 $4$ 道单项选择题，每道选择题有三个选项 $(A),(B),(C)$。若干名学生参加考试，阅卷后发现：任意 $3$ 人都有 $1$ 道题目的答案各不相同，且每个学生不留空题，则参加考试的学生最多有人。

方程

的最小的解为

（其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）。

设 $-\pi /2\le x\le \pi /2$，且方程

有两个不同的解，求 $a$ 的取值范围。

设一圆和一等轴双曲线交于 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 四点，其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是圆的直径的一对端点。

1. (1)

   求证：线段 $A_3{A}_4$ 的中点是双曲线的中心；

2. (2)

   求双曲线在点 $A_3$ 和 $A_4$ 处的切线和直线 $A_1{A}_2$ 的夹角的大小。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足

求证：

1. (1)

   $\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}<\frac{1}{n^2}$；

2. (2)

   $a_n<n(n\in {\mathbb{N}}_{+})$；

3. (3)

   $\frac{1}{a_n}\le \frac{5}{6}+\frac{1}{n+1}(n\in {\mathbb{N}}_{+})$。

如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$AB$、$DC$ 相交于点 $E$，$AD$、$BC$ 相交于点 $F$，对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $G$，$EP$ 切 $\odot O$ 于点 $P$，过点 $F$ 作 $\odot O$ 的切线，切点为 $M,N$。求证：

1. (1)

   $E{F}^2=E{P}^2+F{N}^2$；

2. (2)

   $E,M,G,N$ 四点共线。