2017 年河南预赛 · 第 7 题

解答

设有 $N>0$ 名学生。固定学生 $i$，每题只保留不同于其答案的两个选项，得到 $2^4=16$ 个四位串。对另一学生 $j$，在其与 $i$ 答案不同的题上强制取 $j$ 的答案，在相同题上任取这两个选项，得到集合 $E_{ij}$。若 $r_{ij}$ 为两人答案相同的题数，则 $|E_{ij}|=2^{r_{ij}}$。 对不同的 $j,k$，题设保证三人 $i,j,k$ 在某题答案全不同，该题使 $E_{ij}$ 与 $E_{ik}$ 的强制选项不同，故两集合不交。因此 ${\sum }_{j\ne i}{2}^{r_{ij}}\le 16$。对 $i$ 求和，再用 $2^r\ge 1+r$，得到

每题三个选项人数记为 $u,v,w$，其和为 $N$，该题对最后一和的贡献为 $u(u-1)+v(v-1)+w(w-1)\ge N^2/3-N$。四题累加，故

解得 $N\le 9$。 为达到九人，用 $0,1,2$ 表示三选项，令九名学生分别对应模三有序对 $(x,y)$，其答案为 $(x,y,x+y,x+2y)$，各分量均模三。任意两名学生在这四题中至多一题相同，因为任意两个不同线性式的值都能唯一确定 $(x,y)$。若某三人没有一题答案全不同，则每题都至少有一对答案相同；但三对人每对至多同答一题，只能覆盖至多三题，与四题矛盾。故此九人方案满足条件，最终