2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

若 ${\log }_3(9x),{\log }_9(27x),{\log }_{27}(3x)$ 成等差数列，则正数 $x$ 的值为。

设集合 $A=\{1,2,3,\dots ,100\}$，$B=\{a^2+2^a\mid a\in A\}$，则 $A\cup B$ 的元素个数为。

设点 $P$ 在椭圆 ${\Gamma }_1:\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{25}=1$ 上，$F_1,F_2$ 为 ${\Gamma }_1$ 的两个焦点，线段 $F_{1}P$ 交椭圆 ${\Gamma }_2:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{14}=1$ 于点 $Q$。若 $△F_{2}PQ$ 的周长为 $8$，则线段 $F_{1}Q$ 的长度为。

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$g(x)=(x-1)f(x)$，$h(x)=f(x)+x$。若 $g(x)$ 为奇函数，$h(x)$ 为偶函数，则 $f(x)$ 的最大值为。

若正整数 $k$ 满足

（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $k$ 的最小值为。

设 $\Gamma$ 为任意四棱柱，在 $\Gamma$ 的 $12$ 条棱中随机选取两条不同的棱 $l_1,l_2$，将事件“$l_1$ 所在直线与 $l_2$ 所在直线平行”发生的概率记为 $P(\Gamma )$，则 $P(\Gamma )$ 的所有可能值为。

平面中的 $3$ 个单位向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 满足

（其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数），则 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的取值范围是。

将 $1,2,3,\dots ,9$ 排列为 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$，使得 $3$ 个三位数 $\overline{abc},\overline{def},\overline{ghi}$ 之和等于 $2025$，则不同的排列方法数为。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点集

若 $\Gamma$ 中的 $3$ 个不同的点 $M,P,Q$ 满足：$M$ 为 $PQ$ 的中点，且 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=-2$，求点 $M$ 的坐标。

设正四面体 $ABCD$ 各棱长均为 $2$，$P,Q$ 分别是棱 $AB,AC$ 上的动点（允许位于棱的端点），$AP+AQ=2$，$M$ 为棱 $AD$ 的中点。在 $△MPQ$ 中，$MH$ 为 $PQ$ 边上的高。求 $MH$ 长度的最小值。

设 $\alpha$ 为实数，$m,n$ 为正整数，且 $\sin m\alpha \cdot \sin n\alpha \ne 0$。证明：