2026 年北京预赛（一试 · 第 1–11 题）

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第 1 题

设集合 $W = {1, 2, \dots, 2026}$ 。对 $W$ 的子集 $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}}$ ，定义

λ_{A} = (- 1)^{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}} \cdot k,

其中 $λ_{\emptyset} = 0$ 。则

A \subseteq W \sum λ_{A} =

设 $x \in R$ ，则

\frac{3 ^{2 x + 1} + 3 ^{x + 2} + 15}{3 ^{x} + 1}

的最小值为。

已知一个正三棱锥的底面边长为 $2$ ，侧棱长为 $3$ ，则其内切球的半径为。

设复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ ，则 $∣ z^{3} - 3 z + 1∣$ 的最大值为。

设点 $P (x, y, z)$ 在平面 $2 x - y + z = 2$ 上，记 $d_{1} = ∣ OP ∣$ ， $d_{2}$ 是 $P$ 到平面 $x - 2 y + 2 z = 0$ 的距离，则 $d_{1}^{2} + 9 d_{2}^{2}$ 的最小值为。

已知椭圆

\frac{x ^{2}}{3} + \frac{y ^{2}}{9} = 1,

$△ A BC$ 是这个椭圆的内接三角形，且 $A B$ 过点 $(0, 6/5)$ ，则 $S_{△ A BC}$ 的最大值为。

设

a - b 3 = (2 - 3)^{2026},

其中 $a, b$ 是整数，则 $ab$ 除以 $19$ 的余数为。

已知一个凸 $20$ 边形的任意三条对角线不交于一点，则这个凸 $20$ 边形的所有边与对角线围成的三角形的个数为。

设非负实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2026}$ 满足 $i = 1 \sum 2026 a_{i} = 1$ ，则

\frac{a _{1}}{4 a _{2}^{2} + 1} + \frac{a _{2}}{4 a _{3}^{2} + 1} + \dots + \frac{a _{2026}}{4 a _{1}^{2} + 1}

的最小值为。

设数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} = a_{n + 1} + \frac{1}{a _{n}^{2}} .

则 $[a_{2026}] =$ 。

设直线 $y = x$ 与椭圆

\frac{x ^{2}}{21} + \frac{y ^{2}}{11} = 1

交于 $A, B$ 两点，过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $M, N$ 两点。则当四边形 $M A NB$ 的面积最大时，直线 $l$ 的斜率为。