培玉 · 一试

2026 年四川预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知非零实数 $x, y, z$ 满足

x + y + z = 2026, \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2026},

则

(x - 2026) (y - 2026) (z - 2026)

的值为。

第 2 题

设 $a, b \in R$ ，若函数

f (x) = k = 0 \sum 1012 \frac{x + 2 k}{x + 2 ( k + 1 )}

的对称中心是 $(a, b)$ ，则 $a + b =$ 。

第 3 题

设 $a, b, c$ 为整数，若方程

x^{2} - 2 x - 1 = 0

的根都是方程

x^{4} + a x^{2} + b x + c = 0

的根，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值为。

第 4 题

设 $O$ 为原点， $A$ 为抛物线

y = x^{2} + 1

上的动点， $B$ 为椭圆

(x - 2)^{2} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

上的动点，则 $△ O A B$ 的面积的最小值为。

第 5 题

已知复数 $z$ 满足

∣ z + 1∣ = 2,

则 $∣ z^{2} - z + 1∣$ 的最小值为。

第 6 题

将三棱锥 $P - A BC$ 各棱所在的 $6$ 条直线每两条组成一对。设这些直线对中有 $n$ 对互相垂直，则正整数 $n$ 的最大值为。

第 7 题

设多边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{8}$ 为一个正八边形，有 $2$ 只兔子最初分别位于顶点 $A_{4}$ 和 $A_{8}$ 处。每过 $1$ 分钟， $2$ 只兔子同时随机、独立地跳到与其当前位置相邻的两个顶点中的一个。一旦 $2$ 只兔子跳到了同一个顶点，则停止跳跃。则当兔子停止跳跃时，跳跃时间的分钟数的期望是。

第 8 题

设 $L$ 为长为 $45$ 的数码链：

1121231234 \dots 123456789.

现在这 $45$ 个数码中添加 $2$ 个逗号，将 $L$ 分割成三段 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ （顺序不变）。则使得 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 、 $L_{2}$ 与 $L_{3}$ 、 $L_{3}$ 与 $L_{1}$ 均有相同数码的分割方式 $(L_{1}, L_{2}, L_{3})$ 的总数为。

第 9 题

直线 $y = - 1$ 上一动点 $P$ 向抛物线

x^{2} = 4 y

作两条切线，切点分别为 $M, N$ 。求 $△ PMN$ 的外心的轨迹方程。

第 10 题

给定整数 $n \geq 2$ 。设

e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}

是平面单位向量，满足：对任意 $1 \leq i < j \leq n$ ，均有

e_{i} \cdot e_{j} \geq 0.

求

i = 1 \sum n e_{i}

的最小值。

第 11 题

设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足

a_{1} = 1, a_{2} = 6, a_{3} = 31,

S_{n + 3} = 7 S_{n + 2} - 11 S_{n + 1} + 5 S_{n} (n \in N^{*}) .

求所有的整数 $m \geq 2$ ，使得

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}

构成模 $m$ 的完全剩余系。