2026 年广州预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知集合

A = {x \in [0, 2 π] ∣ 2 sin^{2} x - 3 cos x - 3 = 0} .

则 $A$ 中所有元素之和为。

数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为

a_{n} = \frac{1}{2 n + 2 n ^{2} + 1},

前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{24} =$ 。

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1,

$P$ 为 $C$ 上一点， $C$ 在点 $P$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $B (15, 0)$ ， $F$ 为 $C$ 的右焦点，则 $∣ PF ∣ =$ 。

已知函数 $f (x) = x ln x - a x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $x_{2} = 2 x_{1}$ ，则 $a =$ 。

设 $x, y, z > 0$ 满足

x^{2} - 4 x y + 9 y^{2} - 16 z = 0.

当 $\frac{x y}{z}$ 取最大值时， $\frac{3}{x} - \frac{2}{y} + \frac{1}{z}$ 的最小值为。

已知双曲线

Γ : x^{2} - \frac{y ^{2}}{3} = 1,

直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别过 $Γ$ 的左、右焦点， $l_{1}$ 交 $Γ$ 于 $A, B$ 两点， $l_{2}$ 交 $Γ$ 于 $C, D$ 两点， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于 $P$ 。若

k_{O A} + k_{OB} = k_{OC} + k_{O D},

则动点 $P$ 的轨迹方程为。

在 $△ A BC$ 中， $A B = 6$ ， $A C^{2} + B C^{2} = 50$ 。以 $C$ 为圆心、 $2$ 为半径作圆 $⊙ C$ ， $⊙ C$ 上两点 $E, F$ 满足 $∠ ECF = 9 0^{\circ}$ 。则

A E \cdot BE + A F \cdot BF

的最大值为。

本题整理中，不计分。

形状相同的 $13$ 张卡片中，有 $3$ 张标记数字“ $0$ ”， $3$ 张标记数字“ $1$ ”， $3$ 张标记数字“ $2$ ”，剩下 $4$ 张为黑色卡片。将这些卡片排成一列，要求每张黑色卡片左右必须有数字卡片相邻，且这两数字之差为 $2$ 。则可能的排列方法数为。

称正整数对 $(a, b)$ （ $a \geq b$ ）为“强平方对”，若 $a^{2} + 3 b$ 和 $b^{2} + 3 a$ 均为完全平方数。则所有的“强平方对”为。

在 $△ A BC$ 中， $H$ 为垂心，记 $A H = l$ 。

对非零复数 $z$ ，设

f (z) = 1 - \frac{4}{z} .

(1)
若 $Re z = 1$ ，求 $∣ f (z) ∣$ 的取值范围；
(2)
设复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $Re z_{1} = Re z_{2} = 2$ ，且
$∣ f (z_{1}) + f (z_{2}) ∣ = Re (\frac{f ( z _{1} )}{f ( z _{2} )} + \frac{f ( z _{2} )}{f ( z _{1} )}),$
求 $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ 。