培玉 · 一试

2016 年安徽预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 12/12 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

设 $sin x + cos x = \frac{1}{2}$ ，则 $sin^{3} x + cos^{3} x =$ 。

第 2 题

设 $i$ 是虚数单位，化简 $(i + 1)^{2016} + (i - 1)^{2016} =$ 。

第 3 题

已知等差数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{1000}$ 的前 $100$ 项之和为 $100$ ，最后 $100$ 项之和为 $1000$ ，则 $a_{1} =$ 。

第 4 题

集合

{⌊ x ⌋ + ⌊ 2 x ⌋ + ⌊ 3 x ⌋ ∣ x \in R} \cap {1, 2, \dots, 100}

共有个元素，其中 $⌊ x ⌋$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。

第 5 题

若关于 $x$ 的方程 $x^{2} = a e^{x}$ 恰有三个不同实根，则实数 $a$ 的取值范围是。

第 6 题

在如图所示的单位正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $O$ 是正方形 $A BC D$ 的中心，点 $M, N$ 分别在棱 $A_{1} D_{1}, C C_{1}$ 上， $A_{1} M = \frac{1}{2}$ ， $CN = \frac{2}{3}$ ，则四面体 $OMN B_{1}$ 的体积等于。

第 7 题

已知抛物线 $P$ 以椭圆 $E$ 的中心为焦点， $P$ 经过 $E$ 的两个焦点，并且 $P$ 与 $E$ 恰有三个交点，则 $E$ 的离心率等于。

第 8 题

等可能地随机产生一个正整数 $x \in {1, 2, \dots, 2016}$ ，则 $x$ 在二进制下的各位数字之和不超过 $8$ 的概率等于。

第 9 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{0} = 1, a_{1} = 5, a_{n} = \frac{2 a _{n - 1}^{2} - 3 a _{n - 1} - 9}{2 a _{n - 2}}, n \geq 2.

用数学归纳法证明： $a_{n} = 2^{n + 2} - 3$ 。

第 10 题

$△ A BC$ 的内切圆与三边相切于点 $D, E, F$ 。证明： $△ A BC$ 与 $△ D EF$ 相似当且仅当 $△ A BC$ 是正三角形。

第 11 题

证明：对任意实数 $a, b, c$ ，都有

a^{2} + ab + b^{2} + a^{2} + a c + c^{2} \geq 3 a^{2} + (a + b + c)^{2},

并求等号成立的充分必要条件。

第 12 题

求满足

1 \leq m^{n} - n^{m} \leq mn

的所有正整数对 $(m, n)$ 。