2011 年山西预赛

在集合 $A=\{1,2,3,\dots ,2011\}$ 中，末位数字为 $1$ 的元素个数为。

椭圆 $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ 的焦点为 $F_1,F_2$。如果椭圆上的一点 $P$ 使 $P{F}_1\perp P{F}_2$，则 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积为。

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$\frac{a_{2k}}{a_{2k-1}}=2$，$\frac{a_{2k+1}}{a_{2k}}=3$，$k\ge 1$；则其前 $100$ 项的和 $S_{100}=\underline{}$。

若 $4n+1,6n+1$ 都是完全平方数，则正整数 $n$ 的最小值是。

函数 $y=2x-5+\sqrt{11-3x}$ 的最大值是。

如图，单位正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E,F,G$ 分别是棱 $A{A}_1,C_1{D}_1,D_1{A}_1$ 的中点，则点 $B_1$ 到 $EFG$ 所在平面的距离为。

${\sin }^{2}130^{\circ }+\sin 70^{\circ }\cos 80^{\circ }=\underline{}$。

如果四位数 $\overline{abcd}$ 的四个数码满足 $a+b=c+d$，就称其为“好数”；例如 $2011$ 就是一个“好数”。那么，“好数”的个数是。

（20 分）三角形 $ABC$ 三个内角的度数满足 $\frac{A}{B}=\frac{B}{C}=\frac{1}{3}$；求 $T=\cos A+\cos B+\cos C$ 的值。

（25 分）如图，$D,E,F$ 分别是 $△ABC$ 的边 $BC,CA,AB$ 上的点，且 $DE\cap AB=F_0$，$EF\cap BC=D_0$，$FD\cap CA=E_0$；证明：$AD,BE,CF$ 三线共点，当且仅当 $D_0,E_0,F_0$ 三点共线。

（25 分）20 个巫师孤岛聚会。在这期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师；证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其他九个巫师的诅咒。