2026 年山东预赛

对平面直角坐标系中的点 $(x,y)$，有映射

已知 $S_{△ABC}=6$，$f(A)=D$，$f(B)=E$，$f(C)=F$，则 $S_{△DEF}=$。

若三角形三边长为 $5,2,4$，则以三角形长为 $4$ 的边的两端点为焦点且过另一顶点的 椭圆的离心率为。

函数

的值域为。

若三角形边长 $a,b,c$ 均大于 $1$ 且满足

则该三角形的形状为。

如图所示的数阵中，每一行中除了第一个和最后一个数为 $1$ 外，其他数都等于它“肩上”的 两个数之和。则将最外层的 $1$ 全部删去后，前 $9$ 行的数字和为 。

设非空集合 $S,T$ 满足 $S\cap T=\varnothing$，$S\cup T=\mathbb{R}$。当 $x\in S$ 时， $f(x)=x+3$；当 $x\in T$ 时，$f(x)=2^x+2^{-x}$。若函数 $y=f(x)$ 为偶函数， 则集合 $S$ 的元素个数的最大可能值为。

空间中的四面体 $ABCD$ 与平面 $\alpha$ 满足：

1. (1)

   点 $A,B,C,D$ 不在平面 $\alpha$ 上也不都在平面 $\alpha$ 同侧；

2. (2)

   若四面体 $ABCD$ 的某条棱与平面 $\alpha$ 有交点，则该点总是这条棱的中点 或三等分点。

设集合 $S$ 为点 $A,B,C,D$ 到平面 $\alpha$ 的距离组成的集合，则集合 $S$ 元素个数的 所有可能值为。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $n$ 为正整数，定义点集

点集 ${\Omega }_1,{\Omega }_2,\dots ,{\Omega }_n$ 都由 $\Omega$ 经过任意有限次平移或以原点为中心的 旋转所得到。若平面上的任意一点都属于 ${\Omega }_1\cup {\Omega }_2\cup \cdots \cup {\Omega }_n$，则 $n$ 的最小值为 。

如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设双曲线

两条不同直线 $l_1,l_2$ 分别与 $\Gamma$ 的左、右两支交于点 $A_1,B_1$ 与 $A_2,B_2$。点 $C_1,C_2$ 分别为线段 $A_1{B}_1,A_2{B}_2$ 的中点，分别过点 $C_1,C_2$ 作 $l_2,l_1$ 的平行线并相交于点 $D$。求证：

1. (1)

   直线 $l_1,l_2,O{C}_1,O{C}_2$ 的斜率之积为定值；

2. (2)

   点 $O,C_2,D,C_1$ 四点共圆。

如图所示，小东用 $8$ 块全等的三角形薄片，仅通过拼接（即若干个薄片共同组成几何体的 一个面，或两个薄片沿公共边拼接并分别属于几何体共用一条棱的两个面）得到一个三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$。设三角形薄片的三边长为 $BC=a,CA=b,AB=c$，面积为 $S=1$。

1. (1)

   求证：薄片的形状一定是等腰三角形；

2. (2)

   求该三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的体积。

已知有无穷项的实数列 $\{a_n\}$（$n=0,1,2,\dots$）满足对任意的非负整数 $i$，都有

数列 $\{b_n\}$（$n=0,1,2,\dots$）满足

1. (1)

   求证：存在正整数 $N$，使得对任意非负整数 $k$，都有 $b_{k+N}=b_k$；

2. (2)

   求所有的非负整数 $N$，使得对任意满足题目条件的无穷项数列 $\{a_n\}$， 都有 $b_N$ 是数列 $\{b_n\}$ 中的最大项。

设整数 $m\ge 2$，记

其中欧拉函数 $\phi (m)$ 是指不超过 $m$ 的正整数中与 $m$ 互素的数的个数。 对正整数 $n$，用 $f_m(n)$ 表示 $\{1,2,\dots ,n\}$ 中与 $m$ 互素的正整数的个数。 求证：对任意正整数 $n$，都有