2025 年四川预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1 + a _{n}}{1 - 3 a _{n}} (n \in N^{*}),

则 $a_{2025} =$ 。

已知实数 $m, n$ 满足

3 m + 3^{m} = 9, n + lo g_{3} (n - 1) = 3,

则 $m + n$ 的值为。

已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $F$ 为椭圆

Γ : \frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

的右焦点。过点 $P (2, 2)$ 作圆 $O$ 的切线，与椭圆 $Γ$ 交于 $A, B$ 两点，则 $△ A BF$ 的周长为。

化简

sin^{3} 2 0^{\circ} + sin^{3} 4 0^{\circ} - sin^{3} 8 0^{\circ},

则其值为。

正四面体 $A BC D$ 的棱长为 $4$ ，空间动点 $P$ 满足

P A + PB + PC + P D = 4,

则 $A P \cdot A D$ 的最大值与最小值之差为。

设复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ ，则

z^{7} + \overline{z}^{5} - 3 z^{3} - 3 \overline{z}

的最大值为。

记

X = {1, 2, \dots, 80}, Y = {(a, b) ∣ a, b \in X, 且 a + b 在三进制加法下不进位},

则集合 $Y$ 中的元素个数为。

称正整数 $n$ 为“好数”，是指平面上存在 $10$ 条直线，这些直线满足：无任何 $3$ 条交于一点，且它们一共出现 $n$ 个交点。则所有“好数” $n$ 的和为。

已知抛物线 $Γ : y = x^{2}$ 上三个不同点 $A (1, 1), B, C$ 满足 $A B ⊥ A C$ 。过 $B, C$ 分别作抛物线 $Γ$ 的切线，交于点 $P$ ，求点 $P$ 的轨迹方程。

设四面体 $A BC D$ 满足 $A D, B D, C D$ 两两垂直，点 $O, H$ 分别是 $△ A BC$ 的外心和垂心。求证：

\frac{∣ A D ∣ ^{2} + ∣ B D ∣ ^{2} + ∣ C D ∣ ^{2} + ∣ O D ∣ ^{2}}{∣ A H ∣ ^{2} + ∣ B H ∣ ^{2} + ∣ C H ∣ ^{2} - ∣ O H ∣ ^{2}}

是定值。

给定奇质数 $p$ ，设数列 ${f_{n}}$ 满足

f_{1} = f_{2} = 1, f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n} (n \in N^{*}) .

求证：

p ∣ (p - 1)! n = 1 \sum p - 1 \frac{f _{n}}{n} .