2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d\ne 0$，且 $a_{2021}=a_{20}+a_{21}$，求 $a_1/d$。

设 $m$ 为实数，复数 $z_1=1+2i,z_2=m+3i$。若 $z_1\overline{z_2}$ 为纯虚数，求 $|z_1+z_2|$。

当 $\pi /4\le x\le \pi /2$ 时，求 $y={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ 的取值范围。

函数 $f$ 的定义域为 $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，且对任意 $x\in D$，均有 $f(x)=(f(1)x^2+f(2)x-1)/x$。求 $f(x)$ 所有零点之和。

设 $a,b,c>1$，满足 $(a^{2}b{)}^{{\log }_{a}c}=a(ac{)}^{{\log }_{a}b}$，求 ${\log }_c(ab)$。

在 $△ABC$ 中，$AB=1,AC=2,\cos B=2\sin C$，求 $BC$。

已知抛物线 $y=a{x}^2-3x+3$（$a\ne 0$）的图像与抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的图像关于直线 $y=x+m$ 对称。求实数 $a,p,m$ 的乘积。

设 $a_1,a_2,\dots ,a_{10}$ 是 $1,2,\dots ,10$ 的一个随机排列。求9个数 $a_1{a}_2,a_2{a}_3,\dots ,a_9{a}_{10}$ 中既出现9又出现12的概率。

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a_2=a_3=1$。令 $b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$，若 $\{b_n\}$ 是以3为公比的等比数列，求 $a_{100}$。

曲线 $\Gamma$ 为函数 $y=1/|x|$ 的图像。$\Gamma$ 上的两点 $P,Q$ 满足：$P$ 在第一象限，$Q$ 在第二象限，且直线 $PQ$ 与 $\Gamma$ 位于第二象限的部分相切于点 $Q$。求 $|PQ|$ 的最小值。

在正 $n$（$n\ge 3$）棱锥 $P-A_1{A}_2\cdots A_n$ 中，$O$ 为底面正 $n$ 边形的中心，$B$ 为棱 $A_1{A}_n$ 的中点。（1）证明 $P{O}^2{\sin }^2(\pi /n)+P{A}_1^2{\cos }^2(\pi /n)=P{B}^2$。（2）设正 $n$ 棱锥 $P-A_1{A}_2\cdots A_n$ 的侧棱与底面所成角为 $\alpha$，侧面与底面所成角为 $\beta$，试确定 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\cos \angle A_{i}PB$ 与 $\sin \alpha \sin \beta$ 的大小关系，并证明。