2025 年新疆预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

若实数 $x$ 满足

lo g_{3} x = lo g_{9} (3 x) + lo g_{27} (3 x),

则 $x =$ 。

已知函数

f (x) = sin ω x + cos ω x (ω > 0) .

若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有三个极值点和三个零点，则 $ω$ 的取值范围为。

设实数 $a, b$ 满足：函数

f (x) = (x + 3) (x^{2} + a x + b)

图象的对称中心为 $(- 1, 4)$ ，则 $b^{a} =$ 。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2 a_{n - 1} (n \geq 2, n \in N^{*}), a_{1} = 0, a_{2} = 4,

则 $a_{2025} =$ 。

在三棱锥 $P - A BC$ 中，三条棱 $P A, PB, PC$ 两两垂直，且

P A = 1, PB = 2, PC = 3.

若点 $M$ 为三棱锥 $P - A BC$ 的外接球球面上任意一点，则点 $M$ 到平面 $A BC$ 距离的最大值为。

双曲线

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{9} = 1

的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 是双曲线上一点。若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $(4, 2)$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 外接圆的半径为。

已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，其中

z_{1} \in / R, z_{1} + \frac{1}{z _{1}} \in R, ∣ z_{2} ∣ = 2,

则

∣ z_{1} + z_{2} ∣ + ∣ z_{1} - z_{2} ∣

的取值范围为。

方程

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z ^{2}} = \frac{3}{2}

有组整数解。

设 $△ A BC$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ 。

（1）若

a^{4} + b^{4} + c^{4} = 2 c^{2} (a^{2} + b^{2})

且 $A = 6 3^{\circ}$ ，求角 $B$ ；

（2）若在非直角三角形 $A BC$ 中，

c cos C = b cos B,

$D$ 为 $A C$ 中点，且 $B D = 3$ ，求 $△ A BC$ 面积的最大值。

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (0, 1)$ ，点 $A$ 为动点。以线段 $A P$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切，设 $A$ 点的轨迹为曲线 $E$ 。

（1）求 $E$ 的方程；

（2）若直线 $A P$ 与 $E$ 交于另一点 $B$ ， $△ A OB$ 的外接圆交 $E$ 于点 $C$ （不与 $O, A, B$ 重合），过点 $C$ 作 $E$ 的切线交直线 $A P$ 于点 $N$ ，求 $∣ ON ∣$ 的最小值。

设正数 $a, b, c$ ，求证：

(1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{c}) (1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}) \geq 16.