2012 年安徽预赛

（8 分）设函数 $f(x)=\arcsin (\cos x)$，则 $f(f(f(x)))$ 的最小正周期为。

（8 分）设实数 $x,y$ 满足 $x^2-8x+y^2-6y+24=0$，则 $x-2y$ 的最大值为。

（8 分）$\cos \frac{\pi }{11}-\cos \frac{2\pi }{11}+\cos \frac{3\pi }{11}-\cos \frac{4\pi }{11}+\cos \frac{5\pi }{11}=\underline{}$（用数字作答）。

（8 分）设两点 $C,D$ 在以线段 $AB$ 为直径的半圆弧上，线段 $AC$ 和线段 $BD$ 相交于点 $E$，$AB=10$，$AC=8$，$BD=5\sqrt{2}$，则 $△ABE$ 的面积为。

（8 分）设两个椭圆 $\frac{x^2}{t^2+2t-2}+\frac{y^2}{t^2+t+2}=1$ 和 $\frac{x^2}{2t^2-3t-5}+\frac{y^2}{t^2+t-7}=1$ 有公共的焦点，则 $t=\underline{}$。

（8 分）如图，设正四棱锥 $P$-$ABCD$ 的体积为 $1$，$E,F,G,H$ 分别是线段 $AB,CD,PB,PC$ 的中点，则多面体 $BEG$-$CFH$ 的体积为。

（8 分）不超过 $2012$ 且与 $210$ 的最大公约数是 $1$ 的正整数共有个。

（8 分）设随机变量 $X\sim N(1,2)$，$Y\sim N(3,4)$。若 $P(X<0)=P(Y>a)$，则 $a=\underline{}$。

（25 分）已知 $△ABC$ 的周长为 $1$，并且 $\sin 2A+\sin 2B=4\sin A\sin B$。
（1）证明：$△ABC$ 是直角三角形；
（2）求 $△ABC$ 面积的最大值。

（25 分）设无穷数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$（$n\ge 2$）。
证明：
(1) 当 $n\ge 2$ 时，$a_n\ge \sqrt{2n}$；
(2) 不存在实数 $C$ 使得 $a_n<\sqrt{2n+C}$ 对所有 $n$ 都成立。

（18 分）设 $n=2^m$，$m$ 是正整数。求所有满足 $f(x^2+1)=f(x{)}^2+1$ 的 $n$ 次实系数多项式 $f(x)$。

（18 分）设 $n\ge 2$。对平面上的任意 $n$ 个向量 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$，以 $M$ 表示满足 $i<j$ 且 ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{a}}_j<0$ 的数对 $(i,j)$ 的个数。证明：$M\le \frac{n^2}{3}$。

题图仅以四个任意向量示意，不限定向量个数或方向。