培玉 · 一试

2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

已知实数集合 ${1, 2, 3, x}$ 的最大元素等于该集合的所有元素之和，求 $x$ 的值。

第 2 题

若平面向量 $a = (2^{m}, - 1)$ 与 $b = (2^{m} - 1, 2^{m + 1})$ 垂直，其中 $m$ 为实数，求 $a$ 的模。

第 3 题

设 $α, β \in (0, π)$ ， $cos α, cos β$ 是方程 $5 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根，求 $sin α sin β$ 。

第 4 题

设三棱锥 $P - A BC$ 满足 $P A = PB = 3$ ， $A B = BC = C A = 2$ ，求该三棱锥体积的最大值。

第 5 题

将5个数 $2, 0, 1, 9, 2019$ 按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），求产生的不同的8位数的个数。

第 6 题

设整数 $n > 4$ ， $(x + 2 y - 1)^{n}$ 的展开式中 $x^{n - 4}$ 与 $x y$ 两项的系数相等，求 $n$ 。

第 7 题

在平面直角坐标系中，若以 $(r + 1, 0)$ 为圆心、 $r$ 为半径的圆上存在一点 $(a, b)$ 满足 $b^{2} \geq 4 a$ ，求 $r$ 的最小值。

第 8 题

设等差数列 ${a_{n}}$ 的各项均为整数，首项 $a_{1} = 2019$ ，且对任意正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使 $a_{1} + \dots + a_{n} = a_{m}$ 。求这样的等差数列的个数。

第 9 题

在椭圆 $Γ$ 中， $F$ 为一个焦点， $A, B$ 为两个顶点。若 $∣ F A ∣ = 3$ ， $∣ FB ∣ = 2$ ，求 $∣ A B ∣$ 的所有可能值。

第 10 题

设 $a, b, c$ 均大于1，满足 $l g a + lo g_{b} c = 3$ ， $l g b + lo g_{a} c = 4$ ，求 $l g a \cdot l g c$ 的最大值。

第 11 题

设复数数列 ${z_{n}}$ 满足 $∣ z_{1} ∣ = 1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有 $4 z_{n + 1}^{2} + 2 z_{n} z_{n + 1} + z_{n}^{2} = 0$ 。证明：对任意正整数 $m$ ，均有 $∣ z_{1} + \dots + z_{m} ∣ < 23 /3$ 。