培玉 · 一试

2022 年四川预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知正实数 $a, b$ 满足

a^{b} = (8 a)^{9 b},

则 $lo g_{a} (4 a^{2})$ 的值为。

第 2 题

已知平面向量 $a, b$ 满足

∣ a ∣ = 1, ∣ b ∣ = 2, a \cdot b = 1.

记向量 $a + 2 b$ 与向量 $2 a - b$ 的夹角为 $θ$ ，则 $cos θ =$ 。

第 3 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 1, a_{2} = 2,

a_{2 k + 1} = \frac{a _{2 k}^{2}}{a _{2 k - 1}}, a_{2 k + 2} = 2 a_{2 k + 1} - a_{2 k} (k \in N_{+}) .

则 $a_{2022}$ 的末两位数字是。

第 4 题

已知实数 $x, y$ 满足

x ∣ x ∣ + \frac{y ∣ y ∣}{3} = 1,

则 $∣ 3 x + y - 4∣$ 的取值范围是。

第 5 题

已知函数

f : {1, 2, \dots, 10} ⟶ {1, 2, 3, 4, 5},

且对一切 $k = 1, 2, \dots, 9$ ，都有

∣ f (k + 1) - f (k) ∣ \geq 3.

则符合条件的函数 $f$ 的个数为。

第 6 题

$△ A BC$ 的三边长 $a, b, c$ 满足

a^{2} + b^{2} + 3 c^{2} = 7,

则 $△ A BC$ 的面积的最大值为。

第 7 题

已知函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上严格单调递减，对任意 $x \in (0, + \infty)$ ，均有

f (x) f (f (x) + \frac{2}{x}) = \frac{1}{3} .

记

g (x) = f (x) + 4 x^{2},

则函数 $g (x)$ 的最小值为。

第 8 题

至少通过一个正方体的 $3$ 条棱中点的平面个数为。

第 9 题

矩形 $A BC D$ 中， $A B = 8, BC = 4$ ， $M, N$ 分别是 $A B, C D$ 的中点。以某条动直线 $l$ 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 $M$ 都落在边 $C D$ 上，记为 $M^{'}$ 。过 $M^{'}$ 作 $M^{'} P ⊥ C D$ ，交直线 $l$ 于点 $P$ 。点 $P$ 的轨迹是曲线 $E$ 。

（1）建立恰当的直角坐标系，求曲线 $E$ 的方程；

（2） $F$ 是 $MN$ 上一点， $FN = - 3 FM$ ，过点 $F$ 的直线交曲线 $E$ 于 $S, T$ 两点，且 $SF = λ FT$ ，求实数 $λ$ 的取值范围。

第 10 题

已知正整数数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意正整数 $m, k$ ，都有

a_{m^{2}} = a_{m}^{2}, a_{m^{2} + k^{2}} = a_{m} a_{k} .

求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式。

第 11 题

对任意正数 $a, b, c$ 及任意实数 $r > 1$ ，证明

\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \leq \frac{a ^{r}}{b ^{r} + c ^{r}} + \frac{b ^{r}}{c ^{r} + a ^{r}} + \frac{c ^{r}}{a ^{r} + b ^{r}} .