培玉 · 一试

2023 年山东预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知

A = {x ∣ \frac{1}{81} < 3^{x - 1} \leq 3, x \in Z}, B = {x ∣ \frac{x + 2}{x - 3} < 0, x \in N},

则集合 $C = {m ∣ m = x y, x \in A, y \in B}$ 的元素个数是。

第 2 题

已知

\frac{1 - 4 sin α}{tan α} = 3, α \in (0, \frac{π}{2}),

则 $α =$ 。

第 3 题

已知关于 $x$ 的方程

x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0

的三个非零实数根成等比数列，则 $a^{3} c - b^{3}$ 的值是。

第 4 题

正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个动点 $M$ ，且 $BM ∥$ 平面 $A D_{1} C$ ，则 $tan ∠ D_{1} M D$ 的最大值是。

第 5 题

数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，

a_{n + 1} = 1 + \frac{2}{a _{n}} (n = 1, 2, \dots),

那么 $a_{n} =$ 。

第 6 题

已知 $x, y, z > 0$ ，则

f = \frac{x ^{2} + y ^{2} + y ^{2} + 4 z ^{2} + z ^{2} + 16 x ^{2}}{9 x + 3 y + 5 z}

的最小值是。

第 7 题

设 $△ A BC$ 的内心为 $I$ ，满足

2 I A + 5 I B + 6 I C = 0,

则 $cos ∠ A BC$ 的值是。

第 8 题

已知双曲线 $H : x^{2} - y^{2} = 1$ 上第一象限内一点 $M$ ，过 $M$ 作 $H$ 的切线 $l$ ，交 $H$ 的渐近线于 $P, Q$ 两点（ $P$ 在第一象限）， $R$ 与 $Q$ 在同一渐近线上，则

RP \cdot RQ

的最小值为。

第 9 题

本题整理中，不计分。

第 10 题

设实数 $x, y$ 使得 $x - y, x^{2} - y^{2}, x^{3} - y^{3}$ 均为质数，则 $x - y$ 的值是。

第 11 题

已知 $O$ 是 $△ A BC$ 的外心， $D, E$ 分别是边 $A C, A B$ 上的点，线段 $D E, B D, CE$ 的中点分别为 $P, Q, R$ 。作 $O H ⊥ D E$ ，垂足为 $H$ 。求证： $P, Q, R, H$ 四点共圆。

第 12 题

在区间 $(2^{2 n}, 2^{3 n})$ 中任取 $2^{2 n - 1} + 1$ 个奇数。求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能被另一个数整除。

第 13 题

已知 $a, b, c$ 为正实数，求证：

(a^{2} + 2) (b^{2} + 2) (c^{2} + 2) \geq 9 (ab + b c + c a) .

第 14 题

在 $10 \times 10$ 的表格上填入 $1$ 到 $100$ ，第 $i$ 行第 $j$ 列填入 $10 (i - 1) + j$ 。每次操作如下：取一个格子，或者将此格数字减少 $2$ ，将两个相对的邻格同时加 $1$ ；或者将此格数字增加 $2$ ，将两个相对的邻格同时减 $1$ 。求证：如果经过一些步骤后表格中又得到 $1$ 到 $100$ ，则它们是按原来的顺序排列的。