培玉 · 一试

2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} = 33$ ，则 $\frac{a _{1} + a _{2011}}{a _{7} + a _{2017}}$ 的值为。

第 2 题

设复数 $z$ 满足 $z + 9 = 10 \overline{z} + 22 i$ ，则 $∣ z ∣$ 的值为。

第 3 题

设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，若 $f (x) + x^{2}$ 是奇函数， $f (x) + 2^{x}$ 是偶函数，则 $f (1)$ 的值为。

第 4 题

在 $△ A BC$ 中，若 $sin A = 2 sin C$ ，且三条边 $a, b, c$ 成等比数列，则 $cos A$ 的值为。

第 5 题

在正四面体 $A BC D$ 中， $E, F$ 分别在棱 $A B, A C$ 上，满足 $BE = 3$ ， $EF = 4$ ，且 $EF$ 与面 $BC D$ 平行，则 $△ D EF$ 的面积为。

第 6 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点集 $K = {(x, y) ∣ x, y = - 1, 0, 1}$ 。在 $K$ 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过 $2$ 的概率为。

第 7 题

设 $a$ 为非零实数，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次曲线 $x^{2} + a y^{2} + a^{2} = 0$ 的焦距为 $4$ ，则 $a$ 的值为。

第 8 题

若正整数 $a, b, c$ 满足 $2017 \geq 10 a \geq 100 b \geq 1000 c$ ，则数组 $(a, b, c)$ 的个数为。

第 9 题

设不等式 $∣ 2^{x} - a ∣ < ∣5 - 2^{x} ∣$ 对所有 $x \in [1, 2]$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

第 10 题

设数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n + 1} a_{n + 2} - a_{n}^{2}$ ， $n = 1, 2, \dots$ 。

(1)
证明：数列 ${b_{n}}$ 也是等差数列；
(2)
设数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的公差均是 $d \neq = 0$ ，并且存在正整数 $s, t$ ，使得 $a_{s} + b_{t}$ 是整数，求 $∣ a_{1} ∣$ 的最小值。

第 11 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ ，曲线 $C_{2} : (x - 4)^{2} + y^{2} = 8$ 。经过 $C_{1}$ 上一点 $P$ 作一条倾斜角为 $4 5^{\circ}$ 的直线 $l$ ，与 $C_{2}$ 交于两个不同的点 $Q, R$ ，求 $∣ PQ ∣ \cdot ∣ PR ∣$ 的取值范围。