2024 年上海预赛

若正实数 $a,b$ 满足 $ab=2a+b$，则 $a+2b$ 的最小值是。

计算

已知 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 是同一平面上的 $3$ 个向量，满足

且向量 $\vec{c}-\vec{a}$ 与 $\vec{c}-\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{4}$。则 $|\vec{c}|$ 的最大值为。

一个顶点为 $P$、底面中心为 $O$ 的圆锥体积为 $1$。若正四棱锥 $O-ABCD$ 内接于该圆锥，平面 $ABCD$ 与该圆锥底面平行，$A,B,C,D$ 这 $4$ 个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥 $O-ABCD$ 的体积的最大值是 。

若关于 $z$ 的方程

存在一个模为 $1$ 的虚根，则正整数 $n$ 的最小值为。

已知函数 $f(x)=a{x}^2+\ln x$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是。

若 $3$ 个整数 $a,b,c$ 满足

则这样的有序整数组 $(a,b,c)$ 共有组。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆

$A,B$ 是椭圆的左、右顶点，点 $C$ 是椭圆 $\Gamma$ 内（包括边界）的一个动点。若动点 $P$ 使得 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=0$，求 $|OP|$ 的最大值。

求所有的整数 $n\ge 3$，使得正 $n$ 边形能内接于平面直角坐标系 $xOy$ 中的椭圆

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（$n=1,2,\dots$）。$M$ 是大于 $1$ 的整数，求证：在数列 $a_3,a_4,a_5,\dots$ 中存在相邻的两项，它们除以 $M$ 的余数相等。

将正整数 $1,2,\dots ,100$ 填入 $10\times 10$ 方格表中，每个小方格恰好填 $1$ 个数，要求每行从左到右 $10$ 个数依次递减。对 $1\le i\le 10$，记第 $i$ 行的 $10$ 个数之和为 $S_i$。设 $n\in \{1,2,\dots ,10\}$ 满足：存在一种填法，使得 $S_1,S_2,\dots ,S_{10}$ 均大于第 $n$ 列上的 $10$ 个数之和，求 $n$ 的最小值。