培玉 · 一试

2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

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全国高中数学联赛一试：80分钟。

练习时长（分钟）

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第 1 题

等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2021} = a_{20} + a_{21} = 1$ ，求 $a_{1}$ 。

第 2 题

设 $A = {1, 2, m}$ ，其中 $m$ 为实数，令 $B = {a^{2} : a \in A}$ ， $C = A \cup B$ 。若 $C$ 的所有元素之和为6，求 $C$ 的所有元素之积。

第 3 题

设函数 $f (x)$ 满足：对任意非零实数 $x$ ，均有 $f (x) = f (1) x + f (2) / x - 1$ 。求 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的最小值。

第 4 题

设函数 $f (x) = cos x + lo g_{2} x$ （ $x > 0$ ）。若正实数 $a$ 满足 $f (a) = f (2 a)$ ，求 $f (2 a) - f (4 a)$ 的全部可能值。

第 5 题

在 $△ A BC$ 中， $A B = 1, A C = 2$ ， $B - C = 2 π /3$ ，求三角形 $A BC$ 的面积。

第 6 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ 。过 $Γ$ 上一点 $P$ （异于原点 $O$ ）作切线，与 $y$ 轴交于 $Q$ 。若 $∣ FP ∣ = 2, ∣ FQ ∣ = 1$ ，求 $OP \cdot OQ$ 。

第 7 题

一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别标有点数 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 。随机抛掷三次，各次独立，所得点数依次为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 。求事件 $∣ a_{1} - a_{2} ∣ + ∣ a_{2} - a_{3} ∣ + ∣ a_{3} - a_{1} ∣ = 6$ 的概率。

第 8 题

设有理数 $r = p / q \in (0, 1)$ ，其中 $p, q$ 为互素的正整数，且 $pq$ 整除3600。求这样的有理数 $r$ 的个数。

第 9 题

已知复数列 ${z_{n}}$ 满足 $z_{1} = 3 /2$ ， $z_{n + 1} = \overline{z_{n}} (1 + z_{n} i)$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），其中 $i$ 为虚数单位。求 $z_{2021}$ 。

第 10 题

在平面直角坐标系中，函数 $y = (x + 1) / (∣ x ∣ + 1)$ 的图像上有三个不同的点位于直线 $l$ 上，且这三点横坐标之和为0。求直线 $l$ 斜率的取值范围。

第 11 题

正方体 $A BC D - EFG H$ 的棱长为2，在正方形 $A BFE$ 的内切圆上任取一点 $P_{1}$ ，在正方形 $BCGF$ 的内切圆上任取一点 $P_{2}$ ，在正方形 $EFG H$ 的内切圆上任取一点 $P_{3}$ 。求 $∣ P_{1} P_{2} ∣ + ∣ P_{2} P_{3} ∣ + ∣ P_{3} P_{1} ∣$ 的最小值与最大值。其中 $E, F, G, H$ 分别在 $A, B, C, D$ 正上方。