2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

设集合 $A=\{1,2,3,\dots ,99\}$，$B=\{2x\mid x\in A\}$，$C=\{x\mid 2x\in A\}$，则 $B\cap C$ 的元素个数为。

设点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $\sqrt{3}$，点 $Q$ 在平面 $\alpha$ 上，使得直线 $PQ$ 与 $\alpha$ 所成角不小于 $30^{\circ }$ 且不大于 $60^{\circ }$，则这样的点 $Q$ 所构成的区域的面积为。

将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行，记为 $a,b,c,d,e,f$，则 $abc+def$ 是偶数的概率为。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，椭圆 $C$ 的弦 $ST$ 与 $UV$ 分别平行于 $x$ 轴与 $y$ 轴，且相交于点 $P$。已知线段 $PU,PS,PV,PT$ 的长分别为 $1,2,3,6$，则 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积为。

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的以 $2$ 为周期的偶函数，在区间 $[0,1]$ 上严格递减，且满足 $f(\pi )=1$，$f(2\pi )=2$，则不等式组

的解集为。

设复数 $z$ 满足 $|z|=1$，使得关于 $x$ 的方程 $z{x}^2+2\overline{z}x+2=0$ 有实根，则这样的复数 $z$ 的和为。

设 $O$ 为 $△ABC$ 的外心，若 $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$，则 $\sin \angle BAC$ 的值为。

设整数数列 $a_1,a_2,\dots ,a_{10}$ 满足 $a_{10}=3a_1$，$a_2+a_8=2a_5$，且

则这样的数列的个数为。

已知定义在 ${\mathbb{R}}_{+}$ 上的函数

设 $a,b,c$ 是三个互不相同的实数，满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，求 $abc$ 的取值范围。

已知实数列 $a_1,a_2,a_3,\dots$ 满足：对任意正整数 $n$，有 $a_n(2S_n-a_n)=1$，其中 $S_n$ 表示数列的前 $n$ 项和。证明：（1）对任意正整数 $n$，有 $a_n<2\sqrt{n}$；（2）对任意正整数 $n$，有 $a_n{a}_{n+1}<1$。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $AB$ 是抛物线 $y^2=4x$ 的过点 $F(1,0)$ 的弦，$△AOB$ 的外接圆交抛物线于点 $P$（不同于点 $O,A,B$）。若 $PF$ 平分 $\angle APB$，求 $|PF|$ 的所有可能值。