2012 年湖北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

函数

f (x) = \frac{x + 1}{x ^{2} + 4 x + 7}

的值域为。

已知

3 sin^{2} α + 2 sin^{2} β = 1, 3 (sin α + cos α)^{2} - 2 (sin β + cos β)^{2} = 1,

则 $cos 2 (α + β) =$ 。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}$ 为正整数，且

a_{n + 1} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a _{n}}{2}, 3 a_{n} + 1, a_{n} 为偶数, a_{n} 为奇数 .

如果 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 29$ ，则 $a_{1} =$ 。

设集合 $S = {1, 2, 3, \dots, 12}$ ， $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ 是 $S$ 的子集，且满足

a_{1} < a_{2} < a_{3}, a_{3} - a_{2} \leq 5.

那么满足条件的子集 $A$ 的个数为。

过原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

交于 $M, N$ 两点， $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $M, N$ 的任一点。若直线 $PM, PN$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为。

在 $△ A BC$ 中， $A B = BC = 2$ ， $A C = 3$ 。设 $O$ 是 $△ A BC$ 的内心，若

A O = p A B + q A C,

则 $\frac{p}{q} =$ 。

在长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A C = 1$ ， $B_{1} C = 2$ ， $A B_{1} = p$ ，则长方体的体积最大时， $p$ 为。

设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则

k = 0 \sum 2012 [\frac{2012 + 2 ^{k}}{2 ^{k + 1}}] = 。

已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{n} a_{n + 1} + a_{n} a_{n + 2} = 4 a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1}^{2} + 3 a_{n} a_{n + 1},

且 $a_{1} = 1, a_{2} = 8$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式。

已知正实数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，且

a^{3} + b^{3} + 1 = m (a + b + 1)^{3},

求 $m$ 的取值范围。

已知点 $E (m, n)$ 为抛物线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

内一定点，过 $E$ 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条直线交抛物线于 $A, B, C, D$ ，且 $M, N$ 分别是线段 $A B, C D$ 的中点。