2026 年内蒙古预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

满足

z^{2026} - z - 1 = 0

且 $∣ z ∣ = 1$ 的复数 $z$ 有个。

已知三次函数 $f (x)$ 的三个零点分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，在三个零点处的切线的斜率分别记为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，则它们的倒数和

\frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}} + \frac{1}{k _{3}} = .

从一副不含鬼牌的扑克牌中有放回地抽取扑克牌，在第六次抽取时得到全部四种花色的概率为。

设点 $P$ 为双曲线

C_{1} : \frac{x ^{2}}{2} - y^{2} = 1

上一点，点 $Q$ 为圆

C_{2} : x^{2} + (y - 3)^{2} = 4

上一点。记线段 $PQ$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点，则线段 $OM$ 长度的最小值为。

三棱锥 $A - BC D$ 中，

∠ B A C = ∠ C A D = ∠ D A B = 6 0^{\circ},

且三个侧面的面积分别为

\frac{3}{2}, \frac{3 3}{2}, \frac{3 3}{4},

则三棱锥的内切球体积为。

从正十六边形的顶点中任选四个顶点，两两不相邻的概率为。

设 ${a_{n}}$ 为整数列，且满足关系式

(n - 1) a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} - 2 (n - 1), n \in N_{+} .

若 $2026 ∣ a_{2025}$ ，则满足 $2026 ∣ a_{n}$ 且满足 $n \geq 2$ 的最小正整数 $n$ 是。

方程

sin x sin 7 x = \frac{1}{4}

的所有解为。

已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1}^{2}, a_{2}^{2}, a_{3}^{2}$ 均为数列中的项。求证：对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $a_{n}$ 是整数。

求函数

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

的最大值。

已知双曲线

C : (1 - a^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} - a^{2} = 0 (a > 0),

设 $C$ 的上顶点为 $A$ ， $C$ 与直线 $y = - x$ 交于点 $P$ 。以 $A$ 为焦点， $M (0, m)$ 为顶点作开口向下的抛物线 $D$ ，且 $D$ 经过点 $P$ 。当 $C$ 的一条渐近线斜率取值范围为

[\frac{3}{2}, \frac{2 2}{3}]

时，求直线 $PM$ 斜率的最大值。