2013 年山西预赛

将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第 $2013$ 个数字是。

若自椭圆中心到焦点、长轴顶点以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是。

正四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA=5$，$AB=6$，$M$ 是 $△PAD$ 的重心，则四面体 $MPBC$ 的体积是。

函数 $y=\frac{4-\sin x}{3-\cos x}$ 的最大值是。

若 $a$ 为正数，$\lfloor a\rfloor$ 表示 $a$ 的整数部分，而 $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$。如果 $a,\lfloor a\rfloor ,\{a\}$ 顺次组成等比数列，则 $a=$。

$a,b,c$ 是不同的正整数。若集合 $\{a+b,b+c,c+a\}=\{n^2,(n+1{)}^2,(n+2{)}^2\}$，其中 $n$ 为正整数，则 $a^2+b^2+c^2$ 的最小值是。

函数 $f(x)=\sum _{k=1}^{2013}|x-k|$ 的最小值是。

若 $\sin \alpha +\sin \beta =\sin \gamma$，$\cos \alpha +\cos \beta =-\cos \gamma$，则 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =$。

如图，过 $△ABC$ 的三个顶点 $A,B,C$ 各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交于 $D,E,F$。证明：三个交点 $D,E,F$ 共线。

（20 分）数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=1+\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k$.

(1) 写出数列的前 $7$ 项的值；

(2) 对任意正整数 $n$，求 $a_n$ 的表达式。

盒中装有红色和蓝色纸牌各 $100$ 张，每色纸牌都含标数为 $1,3,3^2,\dots ,3^{99}$ 的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为 $S$。对于给定的正整数 $n$，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为 $n$，便称为一种取牌 $n$ 方案，不同的 $n$ 方案种数记为 $f(n)$。试求 $f(1)+f(2)+\cdots +f(S)$ 的值。