培玉 · 一试

2024 年浙江预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 14/15 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

设集合

A = {x \frac{x - 1}{2 x - 1} \leq 0},

集合

B = {x ∣ x^{2} + 2 x + m \leq 0} .

若 $A \subseteq B$ ，则实数 $m$ 的取值范围为。

第 2 题

设函数

f : {1, 2, 3} ⟶ {2, 3, 4}

满足 $f [f (x) - 1] = f (x)$ ，则这样的函数有个。

第 3 题

函数

y = \frac{sin ^{2} x + sin x + 1}{sin ^{2} x + 1}

的最大值与最小值之积为。

第 4 题

已知数列 ${x_{n}}$ 满足

x_{1} = \frac{2}{2}, x_{n + 1} = x_{n} \frac{n ( n + 1 )}{x _{n}^{2} + n ( n + 1 )} (n \geq 1),

则通项 $x_{n} =$ 。

第 5 题

已知四面体 $A - BC D$ 的外接球半径为 $1$ ，若 $BC = 1$ ， $∠ B D C = 6 0^{\circ}$ ，则球心到平面 $B D C$ 的距离为。

第 6 题

已知复数 $z$ 满足

z^{24} = (z - 1)^{510} = 1,

则复数 $z =$ 。

第 7 题

已知平面上单位向量 $a, b$ 垂直， $c$ 为任意单位向量，且存在 $t \in (0, 1)$ ，使得向量 $a + (1 - t) b$ 与向量 $c - a$ 垂直，则 $∣ a + b - c ∣$ 的最小值为。

第 8 题

本题整理中，不计分。

第 9 题

设实数 $a, b, c \in (0, 2]$ ，且 $b \geq 3 a$ 或 $a + b \leq \frac{4}{3}$ ，则

max {b - a, c - b, 4 - 2 c}

的最小值为。

第 10 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 上，椭圆

E : \frac{x ^{2}}{12} + \frac{y ^{2}}{4} = 1,

$F_{1}$ 为 $E$ 的左焦点；圆 $C$ 的方程为

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2},

$A$ 为 $C$ 的圆心，直线 $l$ 与椭圆 $E$ 和圆 $C$ 相切于同一点 $P (3, 1)$ 。当 $∠ O A F_{1}$ 最大时，实数 $r =$ 。

第 11 题

设 $n$ 为正整数，且

k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k} ( k n )}{k ^{3} + 9 k ^{2} + 26 k + 24} = \frac{1}{312},

则 $n =$ 。

第 12 题

设整数 $n > 4$ 。从编号 $1, 2, \dots, n$ 的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号。若 $1, 2$ 均出现或 $3, 4$ 均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为。

第 13 题

正实数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 满足 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ ；实数 $c_{1}, c_{2}$ 满足

c_{1} = k_{2} - k_{1}, c_{2} - c_{1} = 2 (k_{3} - k_{2}) .

定义函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ k_{1} x, k_{2} x - c_{1}, k_{3} x - c_{2}, 0 \leq x \leq 1, 1 < x \leq 2, x > 2, g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ k_{1} x, k_{2} x - \frac{c _{1}}{12}, k_{3} x - \frac{c _{2}}{12}, 0 \leq x \leq 1, 1 < x \leq 2, x > 2.

试问，当 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 满足什么条件时，存在 $A > 0$ ，使得定义在 $[0, A]$ 上的函数 $g (x) + f (A - x)$ 恰在两点处达到最小值？

第 14 题

设集合 $S = {1, 2, 3, \dots, 997, 998}$ ，集合 $S$ 的 $k$ 个 $499$ 元子集 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}$ 满足：对 $S$ 中任一二元子集 $B$ ，均存在 $i \in {1, 2, \dots, k}$ ，使得 $B \subseteq A_{i}$ 。求 $k$ 的最小值。

第 15 题

设 $f (x), g (x)$ 均为整系数多项式，且 $de g f (x) > de g g (x)$ 。若对无穷多个素数 $p$ ， $p f (x) + g (x)$ 存在有理根，求证： $f (x)$ 必存在有理根。