2014 年河南预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

方程

x^{3} + y^{3} - 3 x y + 1 = 0

的非负实数解为。

\frac{1 - sin ^{6} θ - cos ^{6} θ}{1 - sin ^{4} θ - cos ^{4} θ} = 。

棱长为 $1$ 的正四面体的四个面的中心所组成的小四面体的外接球的体积为。

等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}^{2} + a_{10}^{2} \leq 10$ ，令

S = a_{10} + a_{11} + \dots + a_{19},

则 $S$ 的取值范围是。

$P$ 为椭圆

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{15} = 1

上的任意一点， $EF$ 为圆 $N : (x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 的任意一条直径。

则 $PE \cdot PF$ 的取值范围是。

$6 5^{1000} - 8^{2001}$ 的值与零的大小关系为。

符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $n$ 是正整数，则

n = 1 \sum 2014 ([\frac{n}{2}] + [\frac{n}{3}] + [\frac{n}{6}]) = 。

本题整理中，不计分。

求所有这样的正整数 $n$ ，使得

2^{8} + 2^{11} + 2^{n}

是一个正整数的平方。

设直线 $y = x + b$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 的圆与 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）交于另外两个不同点 $C, D$ 。求证： $A B ⊥ C D$ 。

设 $x, y, z$ 是三角形的三边长且 $x + y + z = 1$ ，求实数 $λ$ 的最小值，使

λ (x y + yz + z x) \geq 3 (λ + 1) x yz + 1

恒成立。

递增数列

1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, \dots

由一些正整数构成，它们或者是 $3$ 的幂，或者是若干个不同的 $3$ 的幂的和，求第 $2014$ 项的值。