2022 年山东预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则方程

2 [2 x - 1]^{2} + [2 x - 1] - 1 = 0

的解集为。

设 $a, b, c \in R$ ， $a, c \neq = 0$ 。方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个虚根 $x_{1}, x_{2}$ 满足

\frac{x _{1}^{2}}{x _{2}} \in R,

则

k = 0 \sum 2022 (\frac{x _{1}}{x _{2}})^{k} = .

已知 $f (x)$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增的奇函数，满足对一切实数 $θ$ 恒有

f (a - cos 2 θ) + f (a + sin θ) \geq 0.

则实数 $a$ 的取值范围是。

数列 ${a_{n}}$ 共 $100$ 项， $a_{1} = 0$ ， $a_{100} = 475$ ，且

∣ a_{k + 1} - a_{k} ∣ = 5, k = 1, 2, \dots, 99.

则满足这种条件的不同数列的个数为。

若单位圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则该四边形四条边的平方和是。

已知 $0 < a < b < 1/ e$ ，则 $a^{a}, b^{b}, a^{b}, b^{a}$ 从小到大排列为。

将 $3$ 个 $12 \times 12$ 的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分；将这 $6$ 部分接于一个边长为 $62$ 的正六边形边上。若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是。

本题整理中，不计分。

已知正数数列 ${a_{n}}$ 满足对任意 $n \in N_{+}$ ，

i = 1 \sum n a_{i}^{3} = (i = 1 \sum n a_{i})^{2} .

则 $a_{n} =$ 。

已知 $0 < x, y < π /2$ ，则

f = \frac{9}{sin ^{2} x} + \frac{1}{cos x cos ^{2} y sin ^{2} y}

的最小值是。

已知函数 $f (x)$ 满足：对任意实数 $x, y$ ，有

f (x y) + f (y - x) \geq f (x + y) .

求证：对于任意实数 $x$ ，均有 $f (x) \geq 0$ 。

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0) .

证明：存在圆心在原点的定圆，使该圆上任一点的切线与椭圆 $C$ 恒有两个交点 $A, B$ ，且

O A \cdot OB = 0.

设 $a, b, c > 0$ 且

a^{2} + b + c = 53, ab c = 28.

求

f = a + b + 2 b + c + c + a

的最小值。

把集合

A = {1011, 1012, \dots, 2022}

任意划分为两个不交的非空子集。证明：至少有一个子集中包含两个数，这两个数之和为完全平方数。