2023 年贵州预赛（第 1–11 题）

在 $△ABC$ 中，$a^2+b^2+c^2=2\sqrt{3}ab\sin C$，则 $\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=$。

已知 $a>0,b>0$，${\log }_{9}a={\log }_{12}b={\log }_{16}(a+b)$，则 $\frac{b}{a}$ 的值为。

若数列 $\{a_n{\}}_{n=1}^{+\infty }$ 的通项公式为

则使得 $a_n$ 取最小值的 $n=$。

设复数 $z_1,z_2$ 满足 $|z_1|=2,|z_2|=3,|z_1+z_2|=4$，则 $\frac{z_1}{z_2}=$。

将 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个不同的实数排成一个三角形数表，从上往下第 $k$（$k=1,2,\dots ,n$）行中有 $k$ 个数。设第 $k$ 行的最大数为 $M_k$，则 $M_1<M_2<\cdots <M_n$ 的概率为。

已知圆 $x^2+y^2=4$ 及点 $P(2,1)$，过 $P$ 作两条互相垂直的直线与圆分别交于 点 $A,B$ 和 $C,D$，其中 $A$ 在线段 $PB$ 内，$D$ 在线段 $PC$ 内。则四边形 $ABCD$ 面积的最大值为。

已知正四面体 $P-ABC$ 中，$D,E,F$ 分别在棱 $PA,PB,PC$ 上。若 $PE\ne PF$，且 $DE=DF=\sqrt{7},EF=2$，则四面体 $P-DEF$ 的体积为 。

在数列 $\{x_n{\}}_{n=1}^{+\infty }$ 中，$x_1=1$，且对任意正整数 $n$， $x_{n+1}=x_n+[\sqrt{x_n}]$，这里 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。则满足 $x_n\ge 2019$ 的最小正整数 $n$ 为。

设 $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$，满足对任意 $x\in [-1,1]$，都有 $f(x)\in [-1,1]$。求 $|c|$ 的最大值。

设椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$）。已知任意以点 $A(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多只有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围。

记 $[x],\{x\}$ 分别为取整函数和取小数函数。已知方程

的解可以从小到大排列成递增数列 $\{x_n{\}}_{n=1}^{+\infty }$，求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式。