培玉 · 一试

2024 年重庆预赛

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第 1 题

已知复数 $z$ 使得 $z - \frac{4}{z}$ 为纯虚数，则 $∣ z - 1 - i ∣$ 的最小值为。（其中 $i$ 为虚数单位）

第 2 题

设函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ 的反函数为 $y = f^{- 1} (x)$ ，则不等式

∣ f^{- 1} (x - 1) ∣ < 1

的解集为。

第 3 题

若点 $A (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 关于直线 $y = k x$ 对称的点在圆

(x - 2)^{2} + y^{2} = 1

上，则 $k =$ 。

第 4 题

在 $△ A BC$ 中，已知

A B \cdot A C = 2 BC \cdot B A = 3 C A \cdot CB,

则 $△ A BC$ 最大角的正弦值为。

第 5 题

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且

\frac{a _{n + 1} - a _{n}}{a _{n}} = \frac{a _{n + 2} - a _{n + 1}}{a _{n + 2}} (n \in N^{*}) .

若 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{6} a_{7} = 3$ ，则 $a_{2024} =$ 。

第 6 题

由 $1, 2, \dots, 9$ 这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过 $60$ 的圆排列的个数为。

第 7 题

已知四面体 $A BC D$ 满足 $A B ⊥ BC$ ， $BC ⊥ C D$ ， $A B = BC = C D = 1$ ，且异面直线 $A D$ 与 $BC$ 所成的角为 $6 0^{\circ}$ ，则四面体 $A BC D$ 的外接球的体积为。

第 8 题

一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生：有 $p (0 \leq p \leq 1)$ 的概率消失，有 $\frac{1 - p}{3}$ 的概率保持不变，有 $\frac{1 - p}{3}$ 的概率分裂成两个，有 $\frac{1 - p}{3}$ 的概率分裂成三个。对所有新产生的生物每天也会发生上述事件。假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过 $\frac{1}{2}$ ，则 $p$ 至多为。

第 9 题

已知函数 $f (x) = ln x - sin x$ 。若两个不相等的实数 $x_{1}, x_{2} \in (0, π)$ 满足曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 和点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线斜率相等，求证：

f (x_{1}) + f (x_{2}) > - 2.

第 10 题

已知抛物线 $Ω : y = x^{2}$ ，动线段 $A B$ 在直线 $y = 3 x - 3$ 上（ $B$ 在 $A$ 右侧），且 $∣ A B ∣ = 23$ 。过 $A$ 作 $Ω$ 的切线，取左边的切点为 $M$ ；过 $B$ 作 $Ω$ 的切线，取右边的切点为 $N$ 。当 $MN ∥ A B$ 时，求点 $A$ 的横坐标。

第 11 题

设

x_{1} = 3, x_{n + 1} = x_{n} + 14 - x_{n} + 2 (n \in N^{*}) .

求 $[x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}]$ 的值。（其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）