2026 年云南预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知集合

A = {a \in R ∣ 0 < lo g_{5} a \leq 1}, B = {b \in N ∣ 5 < C_{b}^{2} < 15},

集合

C = {x \exists b \in B, x + \frac{b}{x} \in A} .

则 $C$ 中元素的最小值为。

设 $z$ 为复数，且 $z$ 的实部为 $1$ ，则

z^{2} + \frac{4}{z}

的最小值为。

已知函数

f (x) = lo g_{a} (a x^{2} - x + \frac{1}{2})

在 $[1, 2]$ 上恒正，则实数 $a$ 的取值范围是。

在正四面体 $A BC D$ 中，点 $E, F$ 分别在棱 $A B, A C$ 上，满足 $BE = 2$ ， $EF = 3$ ，且 $EF$ 与面 $BC D$ 平行，则 $△ D EF$ 的面积为。

在 $△ A BC$ 中，若三边满足

a^{2} + b^{2} = 6 c^{2},

则 $(cot A + cot B) tan C$ 的值为。

设向量 $a, b$ 满足 $∣ a ∣ = 1$ ， $∣ b ∣ = 2$ ，且 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $π /3$ 。若 $7 a + 2 k b$ 与 $k a + b$ 的夹角为钝角，则实数 $k$ 的取值范围为。

两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗。第一个使两颗骰子点数和不小于 $6$ 者为胜；否则由另一人投掷。则先投掷人的获胜概率为。

在边长为 $12$ 的正三角形中有 $n$ 个点，若用一个半径为 $3$ 的圆形硬币总可以盖住其中的 $2$ 个点，则 $n$ 的最小值为。

设函数

f (x) = 3 1 + 2 x - λ x,

其中 $λ > 0$ 。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 3, a_{n} = \frac{2 n + 1}{n - 1} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1}), n \geq 2.

已知直线 $l$ 过定点 $(0, 3)$ ，且是抛物线

y^{2} = 4 x

上动弦 $PQ$ 的垂直平分线。设 $l$ 与 $PQ$ 的交点为 $M$ ，求 $M$ 的轨迹方程。