2015 年安徽预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

函数

f (x) = ∣ x + 1∣ + ∣ x + 3∣ + e^{- x}, x \in R,

的最小值是.

设 $x_{1} = 1$ ，且

x_{n} = \frac{x _{n - 1} - 1}{2 x _{n - 1} + 4}, n \geq 2,

则数列 ${x_{n}}$ 的通项公式是

x_{n} = .

设平面向量 $α, β$ 满足

∣ α ∣, ∣ β ∣, ∣ α + β ∣ \in [1, 3],

则 $α \cdot β$ 的取值范围是.

设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 、周期为 $2 π$ 的奇函数，并且 $f (3) = f (4) = 0$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, 10]$ 中至少有个零点.

设 $a$ 为实数，且关于 $x$ 的方程

(a + cos x) (a - sin x) = 1

有实根，则 $a$ 的取值范围是

.

设定点 $P (0, 1)$ ，动点 $Q$ 满足：线段 $PQ$ 的垂直平分线与抛物线 $y = x^{2}$ 相切，则 $Q$ 的轨迹方程是

.

设复数 $z = x + y i$ ，其中 $x, y$ 是实数， $i$ 是虚数单位.若 $z$ 的虚部和

\frac{z - i}{1 - z}

的实部都非负，则满足条件的点 $(x, y)$ 所构成平面区域的面积是.

设 $n$ 是正整数.把男女乒乓球选手各 $3 n$ 人配成男双、女双、混双各 $n$ 对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是

.

设正实数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，求证：

a^{2} + \frac{1}{a} + b^{2} + \frac{1}{b} \geq 3.

在如图所示的多面体 $A BC D EF$ 中，已知 $A D$ 、 $BE$ 、 $CF$ 都与平面 $A BC$ 垂直.设

A D = a, BE = b, CF = c,

且 $A B = A C = BC = 1$ .求四面体 $A BCE$ 与 $B D EF$ 公共部分的体积（用 $a, b, c$ 表示）.

设平面四边形 $A BC D$ 的四边长为 4 个连续的正整数，求证：四边形 $A BC D$ 的面积的最大值不是整数.

已知 31 位学生参加了某次考试，考试共有 10 道题，每位学生解出了至少 6 道题.求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有 5 道相同.