2020 年中科大少年班初试

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练习时长（分钟）

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第 1 题

若复数 $z$ 满足 $\overset{z}{ˉ} + z = 1$ ，则 $∣ z + 1∣ - ∣ z - i ∣$ 的取值范围为。

若 $∣5 x + 6 y ∣ + ∣9 x + 11 y ∣ \leq 1$ ，则其围成的平面区域面积为。

为辨认原区域，纸面显示坐标为 $s = x + y, t = 9 x + 11 y$ ，顶点旁仍标原 $(x, y)$ ；此图不是原平面的等距图，面积按原坐标计算。

双曲线 $y = \frac{x}{3} + \frac{1}{x}$ 的离心率为。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ 。对 $n \geq 3$ ，有

a_{n} = \frac{2 a _{n - 1}^{2}}{a _{n - 2}} + a_{n - 1} .

则 $a_{n} =$ 。

已知 $x^{2} - y^{2} = 4 p^{2}$ ，其中 $x, y$ 为正整数， $p$ 为素数，则 $x^{3} - y^{3} =$ 。

设 $a = 202 0^{2020}$ 、 $b = 201 9^{2021} \cdot 202 1^{2019}$ 、 $c = \frac{1}{2} (201 9^{2021} + 202 1^{2019})$ ，则 $a, b, c$ 的大小规律为。

设 $f (x) = (x - 1)^{2} + k^{2}$ 。若对任意 $a, b, c \in [0, 1]$ ，数 $f (a), f (b), f (c)$ 都能作为某个三角形的三边，则 $k$ 的取值范围为。

设 $n$ 为正整数，从 $1, 2, \dots, n$ 的全部 $n!$ 个排列中等可能地抽取一个排列，记为

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) .

若 $i < j$ 且 $a_{i} < a_{j}$ ，则称 $(a_{i}, a_{j})$ 为顺序对。记 $X$ 为该排列的顺序对数，求 $E (X)$ 。

已知 $x \in [0, π /2]$ ，求 $y = 3 sin^{2} x - 2 sin 2 x + 2 sin x - cos x$ 的取值范围。

已知 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - x + 1 - a$ 。求所有实数 $a$ ，使得对任意 $x \in [- 1, 1]$ ，都有 $∣ f (x) ∣ \geq ∣ x ∣$ 。

已知

1 + 2 + \dots + n < c (n + 1)^{3/2} (n \in N) .

证明：当 $c = \frac{2}{3}$ 时，不等式成立；且当 $c < \frac{2}{3}$ 时，不等式不成立。