2023 年四川预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且对任意实数 $x$ ，均有

2 f (x) + f (x^{2} - 1) = 1,

则 $f (2)$ 的值为。

设平面向量 $a, b$ 满足

∣ a ∣ = 1, ∣ b ∣ = 2, a ⊥ b .

点 $O, A, B$ 为平面上的三点，满足

O A = 2 a + b, OB = - 3 a + 2 b,

则 $△ A OB$ 的面积为。

在

(- x y + 2 x + 3 y - 6)^{6}

的展开式中， $x^{4} y^{3}$ 的系数为。（用具体数字作答）

设 $P (0, a)$ 是 $y$ 轴上异于原点的任意一点，过 $P$ 且平行于 $x$ 轴的直线与曲线

y = \frac{1}{a} ln x

交于点 $Q$ ，曲线在 $Q$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $R$ ，则 $△ PQR$ 面积的最小值为。

设集合 $I = {0, 1, 2, \dots, 22}$ ，

A = {(a, b, c, d) ∣ a, b, c, d \in I, a + d \equiv 1 (mod 23), a d - b c \equiv 0 (mod 23)} .

则集合 $A$ 中元素的个数为。

在直三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，

A B = 1, BC = C C_{1} = 3, ∠ A BC = 9 0^{\circ} .

$P$ 是平面 $A BC$ 上一动点，则

A_{1} P + \frac{1}{2} PC

的最小值为。

将函数

y = cos x + 1 (0 \leq x \leq 2 π)

的图像 $Γ$ 画在矩形 $O A BC$ 内，将 $A B$ 与 $OC$ 重合围成一个圆柱，则曲线 $Γ$ 在圆柱表面形成的曲线的离心率为。

设 $A, B, C$ 是 $△ A BC$ 的三个内角，则

3 cos A + 2 cos 2 B + cos 3 C

的取值范围为。

已知抛物线 $Γ$ 的顶点是原点 $O$ ，焦点是 $F (0, 1)$ 。过直线 $y = - 2$ 上任意一点 $A$ 作抛物线 $Γ$ 的两条切线，切点分别为 $P, Q$ 。求证：

给定整数 $n \geq 2$ 。已知 $2 n$ 个正实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 n}$ 满足

(k = 1 \sum n a_{2 k - 1}) (k = 1 \sum n a_{2 k}) = k = 1 \prod n a_{2 k - 1} + k = 1 \prod n a_{2 k} .

求

S = k = 1 \sum 2 n \frac{a _{k}^{n - 1}}{a _{k + 1}}

的最小值，其中 $a_{2 n + 1} = a_{1}$ 。

给定正整数 $a \leq b$ 。数列 ${f_{n}}$ 满足

f_{1} = a, f_{2} = b, f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n} (n = 1, 2, \dots) .

若对任意正整数 $n$ ，都有

(k = 1 \sum n f_{k})^{2} \leq λ f_{n} f_{n + 1},

求实数 $λ$ 的最小值。