2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

设集合 $A=\{2,0,1,8\}$，$B=\{2a\mid a\in A\}$，则 $A\cup B$ 的所有元素之和是。

已知圆锥的顶点为 $P$，底面半径长为 $2$，高为 $1$。在圆锥底面上取一点 $Q$，使得直线 $PQ$ 与底面所成角不大于 $45^{\circ }$，则满足条件的点 $Q$ 所构成的区域的面积为。

将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行，记为 $a,b,c,d,e,f$，则 $abc+def$ 是奇数的概率为。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 通过原点，$\vec{n}=(3,1)$ 是 $l$ 的一个法向量。已知数列 $\{a_n\}$ 满足：对任意正整数 $n$，点 $(a_{n+1},a_n)$ 均在 $l$ 上。若 $a_2=6$，则 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$ 的值为。

设 $\alpha ,\beta$ 满足 $\tan (\alpha +\pi /3)=-3$，$\tan (\beta -\pi /6)=5$，则 $\tan (\alpha -\beta )$ 的值为。

设抛物线 $C:y^2=2x$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$，过点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $K$，过点 $A$ 作 $l$ 的平行线，与抛物线 $C$ 交于点 $M,N$，则 $△KMN$ 的面积为。

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的以 $2$ 为周期的偶函数，在区间 $[1,2]$ 上严格递减，且满足 $f(\pi )=1$，$f(2\pi )=0$，则不等式组

的解集为。

已知复数 $z_1,z_2,z_3$ 满足 $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$，$|z_1+z_2+z_3|=r$，其中 $r$ 是给定实数，则 $\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}$ 的实部是（用含有 $r$ 的式子表示）。

已知数列 $\{a_n\}$：$a_1=7$，$\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_n+2$，$n=1,2,3,\dots$。求满足 $a_n>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$。

已知定义在 ${\mathbb{R}}^{+}$ 上的函数

设 $a,b,c$ 是三个互不相同的实数，且满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，求 $abc$ 的取值范围。

如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A,B$ 与 $C,D$ 分别是椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点与上、下顶点。设 $P,Q$ 是 $\Gamma$ 上且位于第一象限内的两点，满足 $OQ\Vert AP$，$M$ 是线段 $AP$ 的中点，射线 $OM$ 与椭圆交于点 $R$。 证明：线段 $OQ,OR,BC$ 能构成一个直角三角形。