培玉 · 一试

2009 年天津预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设 $a, b, c$ 为实数，且满足

a + b + c = 15, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 100.

则 $a$ 的最大值和最小值的积为。

第 2 题

已知 $△ A BC$ 是正三角形， $M, N$ 分别为边 $BC, B A$ 的中点， $O$ 为 $△ BMN$ 的外心。在边 $A C$ 上有一点 $D$ ，使得 $△ A O D$ 的面积等于 $△ A BC$ 的面积的 $\frac{1}{n}$ ，其中 $n$ 为大于 $1$ 的正整数，则 $\frac{A D}{D C}$ 的值为。

第 3 题

甲在黑板上写下正整数 $1, 2, \dots, 2009$ ，然后背对黑板，让乙将黑板上的这些数擦去若干个后再添加上擦去数之和被 $7$ 除的余数。当经过若干次如上操作以后使黑板上只剩下两个数，其中的一个数是一位数。甲问乙：“剩下的两个数中较大的数是几？”乙答：“100。”则剩下的两个数中的那个一位数为。

第 4 题

方程

π^{x - 1} x^{2} + π^{x^{2}} x - π^{x^{2}} = x^{2} + x - 1

的解的个数为，其中 $π$ 为圆周率。

第 5 题

已知正整数 $n = ab c < 10000$ ，其中 $a, b, c$ 均为素数，且

2 a + 3 b = c, 4 a + c + 1 = 4 b,

则 $n$ 的值为。

第 6 题

已知二次函数

y = x^{2} - \frac{2 n + 1}{n ( n + 2 )} x + \frac{n + 1}{n ( n + 2 ) ^{2}}

在 $x$ 轴上截得的线段的长度为 $d_{n}$ ，则

n = 1 \sum 100 d_{n} = 。

第 7 题

已知椭圆 $Γ_{1} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 和双曲线 $Γ_{2} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，其中 $a > b > 0$ 。椭圆 $Γ_{1}$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，双曲线 $Γ_{2}$ 的左右焦点分别为 $F_{3}, F_{4}$ 。过 $F_{4}$ 作一条直线，与椭圆交于两个不同的点 $A, B$ ，其中 $B$ 在 $A, F_{4}$ 之间；直线 $F_{3} A$ 与 $F_{2} B$ 交于点 $C$ 。若直线 $A F_{2}, B F_{3}, C F_{1}$ 三线交于一点，则

\frac{a ^{2}}{b ^{2}} = 。

第 8 题

已知正 $200$ 边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{200}$ ，连接对角线 $A_{i} A_{i + 9}$ （ $i = 1, 2, \dots, 200$ ），其中 $A_{i + 200} = A_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, 9$ ），则这 $200$ 条对角线在正 $200$ 边形的内部有个不同的交点。

第 9 题

（14分）已知 $C, D$ 是以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ 上的两个点，弦 $A D, BC$ 交于点 $E$ ， $F, G$ 分别是 $A C, B D$ 延长线上的点，且满足

A F \cdot BG = A E \cdot BE .

若 $△ A EF, △ BEG$ 的垂心分别为 $H_{1}, H_{2}$ ，证明：

(1)
$A H_{1}, B H_{2}$ 的交点 $K$ 在圆 $O$ 上；
(2)
$F, K, G$ 三点共线。

第 10 题

（15分）已知正数列 ${a_{n}} (n \geq 0)$ 满足

a_{n} = \frac{a _{n - 1}}{m a _{n - 2}}, n = 2, 3, \dots,

其中 $m$ 为实参数。若

a_{2009} = \frac{a _{0}}{a _{1}},

求 $m$ 的值。

第 11 题

（15分）将边长为 $3$ 的正三角形 $A BC$ 的各边三等分，过每个分点分别作另外两边的平行线，称 $△ A BC$ 的边及这些平行线所交的 $10$ 个点为格点。若在这 $10$ 个格点中任取 $n$ 个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形（包括正三角形），求 $n$ 的最小值。