2009 年天津预赛 · 第 10 题

解答

由于所有项为正，递推中的 $m$ 必须为正。记 $a_0=A,a_1=B$，其中 $A,B>0$，依次有 $a_2=B/(mA),a_3=1/(m^{2}A),a_4=1/(m^{2}B),a_5=A/(mB),a_6=A,a_7=B$。递推由相邻两项唯一确定，故对所有 $n\ge 0$，$a_{n+6}=a_n$。因为 $2009\equiv 5(\mathrm{mod}6)$，题设成为 $A/(mB)=A/B$，从而 $\boxed{m=1}$。反之 $m=1$ 时，上述全部项均正且满足要求，所以此值充分。