2009 年天津预赛 · 第 6 题

解答

此二次式的判别式为 ${\Delta }_n=\frac{(2n+1{)}^2-4n(n+1)}{n^2(n+2{)}^2}=\frac{1}{n^2(n+2{)}^2}>0$。首项系数为一，故两根距离 $d_n=\sqrt{{\Delta }_n}=1/[n(n+2)]=\frac{1}{2}(1/n-1/(n+2))$。于是 ${\sum }_{n=1}^{100}{d}_n=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102})=\boxed{\frac{7625}{10302}}$。