2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷）

设集合 $A=\{a^2\mid a\in \mathbb{Z},a^2\ge 2025\}$，$B=\{2^b\mid b\in \mathbb{Z},9\le b\le 14\}$，则 $A\cap B$ 的元素个数为。

若 $\sin 20^{\circ }\sin 25^{\circ }+\sin \alpha =\cos 20^{\circ }\cos 25^{\circ }$，则 $\cos 2\alpha$ 的值为。

若 ${\log }_{3}x,{\log }_9(3x),{\log }_{27}(9x)$ 成等比数列，则正数 $x$ 的值为。

设复数 $z$ 满足 $z+\mathrm{i}$ 与 $z^2+2\mathrm{i}$ 均为实数（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $|z^3+3\mathrm{i}|$ 的值为。

若 $x,y>0$ 且 $x+y=1$，则 $\frac{y+1}{x}+\frac{x+2}{y}$ 的最小值为。

设 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点。若 $\Gamma$ 上存在一点 $P$，使得直线 $F_{1}P,F_{2}P$ 的斜率分别为 $\frac{1}{2},2$，则 $\Gamma$ 的离心率为。

平面中的 $3$ 个单位向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 满足 $\vec{a}\cdot \vec{b}\ge \frac{1}{2}$，$\vec{b}\cdot \vec{c}\le -\frac{1}{2}$，则 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的最大值与最小值之和为。

从 $20$ 个数 $1,2,3,\dots ,20$ 中选出 $4$ 个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为 $2025$ 的倍数，则不同选法的数目为。

设 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数，$g(x)=(x-1)f(x)$，$h(x)=f(x)+x$。若 $g(x)$ 为奇函数，$h(x)$ 为偶函数，求

的值。

在平面直角坐标系中，一条过点 $(0,1)$ 的直线 $l$ 经过点集

中的四个点 $(x_i,y_i)(i=1,2,3,4)$。求

的取值范围。

对整数 $n\ge 3$，在一个棱长均为 $1$ 的正 $n$ 棱柱的 $3n$ 条棱中，随机选取两条不同的棱 $l_1,l_2$，将事件“$l_1$ 所在直线与 $l_2$ 所在直线平行”发生的概率记为 $P_n$。是否存在两个不同的正整数 $k,l(k,l\ge 3)$ 满足 $P_k=P_l$？证明你的结论。