2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷）

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，对任意实数 $x$ 有

又当 $0\le x<7$ 时，$f(x)={\log }_2(9-x)$，则 $f(-100)$ 的值为。

若实数 $x,y$ 满足 $x^2+2\cos y=1$，则 $x-\cos y$ 的取值范围是。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{10}=1$，$F$ 为 $C$ 的上焦点，$A$ 为 $C$ 的右顶点，$P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点，则四边形 $OAPF$ 的面积最大值为。

若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过 $1$，则称其为“平稳数”。平稳数的个数是。

正三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=1$，$AP=2$，过 $AB$ 的平面 $\alpha$ 将其体积平分，则棱 $PC$ 与平面 $\alpha$ 所成角的余弦值为。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点集 $K=\{(x,y)\mid x,y=-1,0,1\}$。在 $K$ 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 $\sqrt{5}$ 的概率是。

在 $△ABC$ 中，$M$ 是边 $BC$ 的中点，$N$ 是线段 $BM$ 的中点。若 $\angle A=\frac{\pi }{3}$，$△ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$，则 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}$ 的最小值为。

设两个严格递增的正整数数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 满足：$a_{10}=b_{10}<2017$，对任意正整数 $n$，有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，$b_{n+1}=2b_n$，则 $a_1+b_1$ 的所有可能值为。

设 $k,m$ 为实数，已知不等式 $|x^2-kx-m|\le 1$ 对所有 $x\in [a,b]$ 成立。证明：$b-a\le 2\sqrt{2}$。

设 $x_1,x_2,x_3$ 是非负实数，满足 $x_1+x_2+x_3=1$，求

的最小值和最大值。

设复数 $z_1,z_2$ 满足 $\mathrm{Re}(z_1)>0$，$\mathrm{Re}(z_2)>0$，且 $\mathrm{Re}(z_1^2)=\mathrm{Re}(z_2^2)=2$（其中 $\mathrm{Re}(z)$ 表示复数 $z$ 的实部）。

1. (1)

   求 $\mathrm{Re}(z_1{z}_2)$ 的最小值；

2. (2)

   求 $|z_1+2|+|\overline{z_2}+2|-|\overline{z_1}-z_2|$ 的最小值。