2010 年天津预赛

设实数 $a,b,c$ 满足 $a^2-bc-2a+10=0$，$b^2+bc+c^2-12a-15=0$，则 $a$ 的取值范围是。

满足 $a^2+ab+b^2=2010$ 的正整数解 $(a,b)$ 构成的集合为。

已知 $x_1,x_2,\dots ,x_{2010}$ 均为正实数，则

的最小值为。

已知非等腰锐角三角形 $△ABC$ 的外心、内心和垂心分别为 $O,I,H$，$\angle A=60^{\circ }$。若 $△ABC$ 的三条高线分别为 $AD,BE,CF$，则 $△OIH$ 的外接圆半径与 $△DEF$ 的外接圆半径之比为。

在一个房间中，地面是边长为 $6$ 米的正方形，其中心设为 $O$，要在正对着 $O$ 的房顶上安装一盏灯 $V$。已知灯照射的角度为 $90^{\circ }$（所有由 $V$ 照射出的光线的边界所夹角度的最大值，即光线的边界与 $VO$ 的夹角为 $45^{\circ }$），若使得房间的每个地方都能照到，$VO$ 的最小值为 米。

若关于 $x$ 的函数 $f(x)=|x-\lfloor x+a\rfloor |$ 存在最大值 $M(a)$，则正实数 $a$ 的取值范围是，其中 $\lfloor y\rfloor$ 表示不超过 $y$ 的最大整数。

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F$，直线 $l:y=kx+d$ 不过点 $F$，且与双曲线的右支交于点 $P,Q$。若 $\angle PFQ$ 的外角平分线与 $l$ 交于点 $A$，则点 $A$ 的横坐标为。

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 是 $1,2,3,4,5$ 的一个排列，且满足 $|a_i-a_{i+1}|\ne 1(i=1,2,3,4)$，则满足条件的排列 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ 的数目为。

（16 分）设 $△ABC$ 的外心、内心分别为 $O,I$，$\angle A,\angle B,\angle C$ 内的旁心分别为 $I_1,I_2,I_3$。证明：

1. (1)

   $△I_1{I}_2{I}_3$ 为锐角三角形；

2. (2)

   若 $△I_1{I}_2{I}_3$ 的外心为 $O^{\prime }$，则 $O^{\prime },O,I$ 三点共线。

（20 分）已知有理数数列 $\{a_n\}(n=0,1,2,\dots )$ 满足 $a_n=\alpha x_1^n+\beta x_2^n\ne 0(n=0,1,2,\dots )$，其中 $\alpha ,\beta$ 为实数，$x_1,x_2\in \mathbb{C}$，且 $x_1{x}_2=1$，证明：

1. (1)

   $x_1+x_2$ 为有理数；

2. (2)

   若 $x_1,x_2$ 不是实数，则 $\alpha =\beta$。

（20 分）正五边形 $ABCDE$ 的对角线 $BE$ 分别与对角线 $AD,AC$ 交于点 $F,G$，对角线 $BD$ 分别与对角线 $CA,CE$ 交于点 $H,I$，对角线 $CE$ 与对角线 $AD$ 交于点 $J$。设由图中的 $10$ 个点 $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ 和线段构成的等腰三角形的集合为 $M$。

1. (1)

   求 $M$ 中元素的数目；

2. (2)

   若将这 $10$ 个点中的每个点任意染为红、蓝两种颜色之一，问是否一定存在 $M$ 中的一个等腰三角形，其三个顶点同色？

3. (3)

   若将这 $10$ 个点中的任意 $n$ 个点染红色，使得一定存在 $M$ 中的一个等腰三角形，其三个顶点同为红色，求 $n$ 的最小值。